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Si l’on différence présentement la quantité ${\frac {1}{e^{\alpha }+1}},$ on trouvera

${\frac {d{\cfrac {1}{e^{\alpha }+1}}}{d\alpha }}={\frac {-e^{\alpha }}{\left(e^{\alpha }+1\right)^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}{\cfrac {1}{e^{\alpha }+1}}}{d\alpha ^{2}}}={\frac {e^{2\alpha }-e^{\alpha }}{\left(e^{\alpha }+1\right)^{3}}},$

et, en continuant de procéder ainsi, on voit que l’on aura généralement

(7)

${\frac {d^{n-1}{\cfrac {1}{e^{\alpha }+1}}}{d\alpha ^{n-1}}}={\frac {\mathrm {A} e^{(n-1)\alpha }+\mathrm {A} ^{(1)}e^{(n-2)\alpha }+\mathrm {A} ^{(2)}e^{(n-3)\alpha }+\ldots }{\left(e^{\alpha }+1\right)^{n}}},$

$\mathrm {A,A^{(1)},A^{(2)}} ,\ldots$ étant des coefficients indépendants de $\alpha ,$ et le numérateur du second membre de cette équation ne renfermant que des puissances positives de $e^{\alpha },$ en sorte que la plus petite des quantités $n-1,\ n-2,\ n-3,\ldots$ ne peut être zéro ou négative. Pour déterminer ce numérateur, nous observerons que l’on a

$\left(e^{\alpha }+1\right)^{n}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {1}{e^{\alpha }+1}}}{d\alpha ^{n-1}}}=\mathrm {A} e^{(n-1)\alpha }+\mathrm {A} ^{(1)}e^{(n-2)\alpha }+\ldots \,;$

il ne s’agit donc que de développer en série la fonction

$\left(e^{\alpha }+1\right)^{n}{\frac {d^{n-1}\left(e^{\alpha }+1\right)^{-1}}{d\alpha ^{n-1}}},$

en rejetant toutes les puissances de $e^{\alpha },$ qui sont zéro ou négatives, et dont les coefficients doivent, par conséquent, se détruire d’eux mêmes ; or on a

$\left(e^{\alpha }+1\right)^{-1}=e^{-\alpha }\left(1+e^{-\alpha }\right)^{-1}=e^{-\alpha }-e^{-2\alpha }+e^{-3\alpha }-e^{-4\alpha }+\ldots ,$

partant

${\frac {d^{n-1}\left(e^{\alpha }+1\right)^{-1}}{d\alpha ^{n-1}}}=\pm \left(e^{-\alpha }-2^{n-1}e^{-2\alpha }+3^{n-1}e^{-3\alpha }-4^{n-1}e^{-4\alpha }+\ldots \right),$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair, et le signe $-$ s’il est pair ; en multipliant cette quantité par $\left(e^{\alpha }+1\right)^{n}$ et rejetant les puissances