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conditions,

$\sideset {}{^{i}}\sum z={\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {\partial z}{\partial t}}}-1\right)^{i}}}\,;$

et, comme cette équation a lieu quelle que soit la fonction $z,$ en changeant $z$ en $u,$ on aura

(5)

$\sideset {}{^{i}}\sum u={\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1\right)^{i}}}.$

V.

Dans la supposition de $i=1,$ l’équation (5) devient

$\sum u={\frac {1}{e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1}},$

en sorte que, en développant la quantité ${\frac {1}{e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1}},$ on aura la loi des termes de la série qui exprime l’intégrale finie de la fonction $u.$ Cette loi est très importante dans la théorie des suites ; on peut y parvenir directement de la manière suivante :

Supposons

${\frac {\alpha }{e^{\alpha }-1}}={\frac {1}{\alpha }}+q_{0}+\alpha q_{1}+\alpha ^{2}q_{2}+\alpha ^{3}q_{3}+\ldots ++\alpha ^{n-1}q_{n-1}+\ldots ,$

on aura, par ce qui précède,

$\sum u={\frac {\int udt}{\alpha }}+q_{0}u+\alpha q_{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha ^{2}q_{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\alpha ^{3}q_{3}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots .$

Tout se réduit donc à déterminer la loi des coefficients $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots \,;$ or il est visible que l’on a

$q_{n-1}={\frac {d^{n}{\cfrac {\alpha }{e^{\alpha }-1}}}{1.2.3\ldots nd\alpha ^{n}}},$