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et, continuant d’opérer ainsi, il est aisé de voir que l’on aura généralement

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\sideset {}{^{i}}\sum z={\frac {\int ^{i}zdt^{i}}{\alpha ^{i}}}&+r{\frac {\int ^{i-1}zdt^{i-1}}{\alpha ^{i-1}}}+r'{\frac {\int ^{i-2}zdt^{i-2}}{\alpha ^{i-2}}}+\ldots \\&+sz+s'\alpha {\frac {\partial z}{\partial t}}+s''\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

$r,r',\ldots ,s,s',\ldots$ étant des coefficients indépendants de $\alpha$ et de $t.$

Pour les déterminer, soit $z=e^{t},$ et l’on aura

$e^{t}=z={\frac {\partial z}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\ldots =\int zdt=\int ^{2}zdt^{2}=\ldots .$

On a d’ailleurs

$\sum z={\frac {e^{t}}{e^{\alpha }-1}},$

partant

$\sideset {}{^{2}}\sum z={\frac {1}{e^{\alpha }-1}}\sum e^{t}={\frac {e^{t}}{(e^{\alpha }-1)^{2}}},$

et généralement

$\sideset {}{^{i}}\sum z={\frac {e^{t}}{(e^{\alpha }-1)^{i}}}\,;$

l’équation (4) donnera donc

${\frac {1}{(e^{\alpha }-1)^{i}}}={\frac {1}{\alpha ^{i}}}+{\frac {r}{\alpha ^{i-1}}}+{\frac {r'}{\alpha ^{i-2}}}+\ldots +s+\alpha s'+\alpha ^{2}s''+\ldots ,$

en sorte que l’on aura

${\frac {\int ^{i}zdt^{i}}{\alpha ^{i}}}+{\frac {r\int ^{i-1}zdt^{i-1}}{\alpha ^{i-1}}}+{\frac {r'\int ^{i-2}zdt^{i-2}}{\alpha ^{i-2}}}+\ldots +sz+\alpha s'{\frac {\partial z}{\partial t}}+\ldots$

$={\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {\partial z}{\partial t}}}-1\right)^{i}}},$

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique $\partial$ les exposants des puissances de $\partial z$ et que l’on change les différences négatives en intégrales, c’est-à-dire, qu’au lieu de $\left({\frac {\partial z}{\partial t}}\right)^{n}$ on écrive ${\frac {\partial ^{n}z}{\partial t^{n}}},$ et, si $n$ est négatif et égal à $-m,$ qu’au lieu de ${\frac {\partial ^{-m}z}{\partial t^{-m}}}$ on écrive $\int ^{m}z\partial t^{m}\,;$ on aura donc, avec ces