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tion, on applique à la caractéristique $\partial$ les exposants des puissances de $\partial u,$ et qu’ainsi l’on écrive ${\frac {\partial ^{n}u}{\partial t^{n}}}$ au lieu de $\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)^{n}\,;$ on aura donc, dans cette supposition,

(3)

$\Delta ^{i}u=\left(e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1\right)^{i}.$

IV.

Si l’on suppose ${\frac {\partial ^{i}u}{\partial t^{i}}}=\sideset {}{^{i}}\sum z,$ la caractéristique $\sum$ servant à désigner, comme à l’ordinaire, l’intégrale finie des quantités, on aura

$u=\sideset {}{^{i}}\sum \int ^{i}zdt^{i}\qquad {\text{et}}\qquad \Delta ^{i}u=\int ^{i}zdt^{i}\,;$

l’équation (2) de l’article précédent donnera donc

$\sideset {}{^{i}}\sum z={\frac {\int ^{i}zdt^{i}}{\alpha ^{i}}}-h\alpha \sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial z}{\partial t}}-h'\alpha ^{2}\sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}-\ldots ,$

d’où l’on tirera, en différentiant,

$\alpha \sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial z}{\partial t}}={\frac {\int ^{i-1}zdt^{i-1}}{\alpha ^{i-1}}}-h\alpha ^{2}\sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}-\ldots .$

Cette valeur de $\alpha \sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial z}{\partial t}},$ substituée dans l’expression de $\sideset {}{^{i}}\sum z,$ lui donnera la forme suivante

$\sideset {}{^{i}}\sum z={\frac {\int ^{i}zdt^{i}}{\alpha ^{i}}}-{\frac {h\int ^{i-1}zdt^{i-1}}{\alpha ^{i-1}}}-m\alpha ^{2}\sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}-\ldots .$

En différenciant cette équation deux fois de suite, on aura

$\alpha ^{2}\sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\int ^{i-2}zdt^{i-2}}{\alpha ^{i-2}}}-{\frac {h\int ^{i-3}zdt^{i-3}}{\alpha ^{i-3}}}-m\alpha ^{4}\sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial ^{4}z}{\partial t^{4}}}-\ldots .$

Cette valeur de $\alpha ^{2}\sideset {}{^{i}}\sum {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}},$ substituée dans l’expression de $\sideset {}{^{i}}\sum z,$ donnera

$\sideset {}{^{i}}\sum z={\frac {\int ^{i}zdt^{i}}{\alpha ^{i}}}-h{\frac {\int ^{i-1}zdt^{i-1}}{\alpha ^{i-1}}}-m{\frac {\int ^{i-2}zdt^{i-2}}{\alpha ^{i-2}}}-\ldots \,;$