satisfait à l’équation différentielle
![{\displaystyle 0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha z+\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30035e465e9038dbaaace396cc14481e7e50cdc)
et qu’elle en est l’intégrale complète, puisqu’elle renferme la constante arbitraire
on voit ainsi que le même principe qui donne les constantes arbitraires sous une forme linéaire, dans les intégrales des équations linéaires aux différences ordinaires, donne pareillement les fonctions arbitraires sous une forme linéaire, dans les intégrales des équations linéaires aux différences partielles.
V.
L’équation générale linéaire aux différences partielles du second ordre est
(L)
|
|
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et
étant des fonctions quelconques de
et de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
On peut la mettre sous une forme plus simple, en changeant les variables
et
en d’autres,
et
qui soient fonctions de
et de
en regardant conséquemment
comme fonction de ces nouvelles variables, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial z}{\partial x}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}},\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial y}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96796f7f664dff3bf9cea99d6d27b3f27211d95c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}{\frac {\partial \theta ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}\left({\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x\partial y}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}{\frac {\partial \theta ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66346f2d0bbb4a3d480a21f126003d0fc509c6a)