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On aura donc pour $\Delta ^{2}u$ une expression de cette forme

$\Delta ^{2}u=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+a\alpha ^{3}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+a'\alpha ^{4}{\frac {\partial ^{4}u}{\partial t^{4}}}+\ldots ,$

$a,a',\ldots$ étant des coefficients numériques ; si l’on différentie de nouveau cette équation aux différences finies, on aura

$\Delta ^{3}u=\alpha ^{2}\Delta {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\ldots ,$

d’où l’on conclura

$\Delta ^{3}u=\alpha ^{3}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots .$

En suivant ce procédé, on aura généralement

(2)

$\Delta ^{i}u=\alpha ^{i}{\frac {\partial ^{i}u}{\partial t^{i}}}+h\alpha ^{i+1}{\frac {\partial ^{i+1}u}{\partial t^{i+1}}}+h'\alpha ^{i+2}{\frac {\partial ^{i+2}u}{\partial t^{i+2}}}+\ldots ,$

$h,h',\ldots$ étant des coefficients indépendants de $\alpha$ et de $t$ qu’il s’agit de déterminer.

Pour cela, soit $u=e^{t},$ on aura

$e^{t}=u={\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=\ldots \,;$

on a d’ailleurs

${\begin{alignedat}{2}\Delta u\ \ =&e^{t+\alpha }-e^{t}&=&\left(e^{\alpha }-1\right)e^{t},\\\Delta ^{2}u=&\left(e^{\alpha }-1\right)\left(e^{t+\alpha }-e^{t}\right)&=&\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}e^{t},\end{alignedat}}$

et généralement

$\Delta ^{i}u=\left(e^{\alpha }-1\right)^{i}e^{t}\,;$

l’équation (2) donnera donc

$\left(e^{\alpha }-1\right)^{i}=\alpha ^{i}+h\alpha ^{i+1}+h'\alpha ^{i+2}+\ldots ,$

en sorte que l’on aura

$\alpha ^{i}{\frac {\partial ^{i}u}{\partial t^{i}}}+h\alpha ^{i+1}{\frac {\partial ^{i+1}u}{\partial t^{i+1}}}+h'\alpha ^{i+2}{\frac {\partial ^{i+2}u}{\partial t^{i+2}}}+\ldots =\left(e^{\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}}-1\right)^{i},$

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équa-