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III.

Le théorème de l’article précédent donne immédiatement en série la différence finie d’une fonction quelconque $u$ de $t,t_{1},t_{2},\ldots$ lorsqu’on y suppose $t$ croître de $\alpha ,\ t_{1}$ croître de $\alpha _{1},\ t_{2}$ croître de $\alpha _{2},\ldots ,$ car, en nommant $u'$ ce que devient $u$ par ces accroissements, on aura, en vertu de ce théorème,

$u'=u+\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha _{1}{\frac {\partial u}{\partial t_{1}}}+\ldots +{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\ldots \,;$

en désignant donc, comme à l’ordinaire, par $\Delta u$ la différence finie $u'-u,$ on aura

$\Delta u=\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha _{1}{\frac {\partial u}{\partial t_{1}}}+\ldots .$

Il est aisé d’en déduire les différences finies successives de $u$ ; mais, pour ne point nous embarrasser dans de trop longs calculs, nous ne considérerons ici qu’une seule variable $t\,:$ il sera facile ensuite d’étendre les résultats suivants à un nombre quelconque de variables.

Dans le cas d’une seule variable $t,$ on a

(1)

$\Delta u=\alpha {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots .$

En prenant la différence finie de cette équation, on aura

$\Delta ^{2}u=\alpha \Delta {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}\Delta {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}\Delta {\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots .$

Or on a, en changeant successivement dans l’équation (1) $u$ en ${\frac {\partial u}{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\ldots ,$

${\begin{aligned}\alpha \ \ \Delta {\frac {\partial u}{\partial t}}\ \ =&\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2}}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+\ldots ,\\\alpha ^{2}\Delta {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=&\alpha ^{3}{\frac {\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}}+{\frac {\alpha ^{4}}{1.2}}{\frac {\partial ^{4}u}{\partial t^{4}}}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$