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C’est sous ce point de vue que le calcul aux différences partielles peut être utile dans la théorie des suites, et nous allons en voir découler les principaux théorèmes sur cet objet, auxquels les géomètres ne sont parvenus que par des méthodes particulières.

II.

Supposons d’abord $u$ égal à une fonction quelconque de $t+\alpha ,t_{1}+\alpha _{1},t_{2}+\alpha _{2},\ldots$ que nous désignerons par

$\varphi \left(t+\alpha ,t_{1}+\alpha _{1},t_{2}+\alpha _{2},\ldots \right)\,;$

dans ce cas, la différence quelconque $i$^ième de $u,$ prise par rapport à $\alpha$ et divisée par $\partial \alpha ^{i},$ est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à $t$ et divisée par $\partial t^{i}.$ La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à $\alpha _{1},$ et $t_{1},$ ou par rapport à $\alpha _{2}$ et $t_{2},$ ou $\ldots ,$ d’où il suit que l’on a généralement

${\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}\partial \alpha _{2}^{n_{2}}\ldots }}={\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }u}{\partial t^{n}\partial t_{1}^{n_{1}}\partial t_{2}^{n_{2}}\ldots }}.$

En changeant dans le second membre de cette équation $u$ en $\scriptstyle \mathrm {U}$ ou, ce qui revient au même, en $\varphi (t,t_{1},t_{2},\ldots ),$ on aura, par l’article précédent,

$q_{n,n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }\varphi (t,t_{1},t_{2},\ldots )}{1.2.3\ldots n\partial t^{n}.1.2.3\ldots n_{1}\partial t_{1}^{n_{1}}.1.2.3\ldots n_{2}\partial t_{2}^{n_{2}}\ldots }}.$

Si $u$ est seulement fonction de $t+\alpha ,$ on aura

$q_{n}={\frac {\partial ^{n}\varphi (t)}{1.2.3\ldots n\partial t^{n}}},$

partant

$\varphi (t+\alpha )=\varphi (t)+\alpha {\frac {\partial \varphi (t)}{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi (t)}{\partial t^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}\varphi (t)}{\partial t^{3}}}+\ldots .$

Cette suite a été donnée par Taylor dans l’Ouvrage qui a pour titre : Methodus incrementorum.