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Si $u$ est fonction des deux quantités $\alpha$ et $\alpha _{1},$ et qu’il s’agisse de développer cette fonction dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $\alpha$ et de $\alpha _{1},$ en représentant ainsi cette suite

${\begin{aligned}u=\scriptstyle {\mathrm {U} }\displaystyle +\alpha q_{1,0}+\alpha ^{2}\ \ q_{2,0}+\ldots &\\+\alpha _{1}q_{0,1}+\alpha \alpha _{1}q_{1,1}+\ldots &\\+\alpha \alpha _{1}^{2}q_{0,2}+\ldots &\\+\ldots &,\end{aligned}}$

le coefficient $q_{n,n_{1}}$ du terme $\alpha ^{n}\alpha _{1}^{n_{1}}q_{n,n_{1}}$ sera pareillement égal à

${\frac {\cfrac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n_{1}}},$

$\alpha$ et $\alpha _{1}$ étant supposés nuls après les différentiations.

En général, si $u$ est fonction de $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ et que, en la développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ on représente par $\alpha ^{n}\alpha _{1}^{n_{1}}\alpha _{2}^{n_{2}}\ldots q_{n,n_{1},n_{2},\ldots }$ le terme de l’ordre $\alpha ^{n}\alpha _{1}^{n_{1}}\alpha _{2}^{n_{2}}\ldots$ de cette suite, on aura

$q_{n,n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {\cfrac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}\partial \alpha _{2}^{n_{2}}\ldots }}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n_{1}.1.2.3\ldots n_{2}\ldots }},$

pourvu que l’on suppose $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ égaux à zéro après les différentiations.

Supposons maintenant que $u$ soit fonction de $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ et des variables $t,t_{1},t_{2},\ldots \,;$ si, par la nature de cette fonction ou par une équation aux différences partielles qui la représente, on parvient à obtenir, ${\frac {\partial ^{n+n_{1}+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}\ldots }}$ en fonction de $u$ et de ses différences prises par rapport à $t,t_{1},t_{2},\ldots ,$ en nommant $\mathrm {K}$ cette fonction, lorsqu’on y change $u$ en $\scriptstyle \mathrm {U} ,\ \mathrm {U}$ étant ce que devient $u$ lorsqu’on y suppose $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ égaux à zéro, il est visible que l’on aura $q_{n,n_{1},\ldots }$ en divisant $\mathrm {K}$ par le produit

$1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n_{1}.1.2.3\ldots n_{2}\ldots \,;$

on aura donc ainsi la loi de la série dans laquelle $u$ est développé.