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MÉMOIRE SUR L’USAGE

du

CALCUL AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES

dans

LA THÉORIE DES SUITES.^[1]

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Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Paris, année 1777 ; 1780.

I.

Soit $u$ une fonction quelconque de $\alpha ,$ que l’on propose de développer dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $\alpha .$ En représentant ainsi cette suite

$u=\scriptstyle {\mathrm {U} }\displaystyle +\alpha q_{1}+\alpha ^{2}q_{2}+\alpha ^{3}q_{3}+\ldots +\alpha ^{n}q_{n}+\alpha ^{n+1}q_{n+1}+\ldots ,$

$\scriptstyle {\mathrm {U} }\displaystyle ,q_{1},q_{2},\ldots$ étant des quantités indépendantes de $\alpha ,$ il est clair que $\scriptstyle {\mathrm {U} }\displaystyle$ est ce que devient $u$ lorsqu’on y suppose $\alpha =0,$ et que l’on a, quel que soit $n,$

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}=1.2.3\ldots n.q_{n}+2.3\ldots (n+1)\alpha q_{n+1}+\ldots ,$

la différence $\partial ^{n}u$ étant prise en faisant varier tout ce qui, dans $u,$ doit varier avec $\alpha \,;$ partant, si l’on suppose après les différentiations $\alpha =0$ dans l’expression de ${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}$ on aura

$q_{n}={\frac {\cfrac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}{1.2.3\ldots n}}.$

1. Remis le 16 juin 1779.