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sens horizontal est moindre dans la raison de $e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}+e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}$ à $e^{\frac {l}{c}}+e^{\frac {-l}{c}}\,;$ d’où il suit que, si $c$ est peu considérable, le mouvement du fluide sera presque insensible à une médiocre profondeur : il ne s’agit donc plus que de bien déterminer, pour tous les points situés à la surface du fluide, la signification des valeurs précédentes de $x$ et de $z,$ qui, ayant été données par l’intégration d’équations aux différences partielles, doivent être plutôt regardées comme des symboles que comme de véritables expressions analytiques. Si l’on considérait, en effet, sous ce dernier rapport le facteur $1-\cos nt$ qu’elles renferment, on serait naturellement porté à conclure que la masse entière du fluide doit s’ébranler dès le premier instant du mouvement, et que chaque molécule fera éternellement des oscillations dont la durée est égale à ${\frac {360^{\circ }}{n}}\,;$ or l’une et l’autre de ces conséquences est démentie par l’expérience, qui nous montre que les parties du fluide s’ébranlent successivement et que chaque molécule ne fait qu’un nombre fini d’oscillations, déterminé par la nature de l’ébranlement primitif, après quoi elle reste en repos. La solution de cette difficulté mérite une attention particulière, en ce qu’elle renferme une application délicate du Calcul intégral aux différences partielles.

L’expression de $z$ devient, à la surface du fluide,

$z=a\cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}(\cos nt-1)$

$=a\left[{\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\mathrm {X} }{c}}-nt\right)+{\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\mathrm {X} }{c}}+nt\right)-\cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}\right]\,;$

la hauteur de la molécule fluide au-dessus du niveau du canal, étant égale à $\alpha u+\alpha z,$ sera conséquemment égale à

$\alpha a\left[{\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\mathrm {X} }{c}}-nt\right)+{\frac {1}{2}}\cos \left({\frac {\mathrm {X} }{c}}+nt\right)-\cos {\frac {h}{c}}\right]\,;$

il faut donc déterminer la fonction arbitraire $\varphi (X)$ de l’expression générale de $\alpha u+\alpha z,$ de manière que cette expression soit égale à la quantité précédente ; or on doit se rappeler ici que, $t$ étant nul, la