Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/318

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $\mathrm {A}$ étant fonction de $t$ seul, car il est aisé de voir que ces valeurs de $x$ et de $z$ satisfont aux équations

${\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}=0\qquad {\frac {\partial x}{\partial \mathrm {Z} }}={\frac {\partial z}{\partial \mathrm {X} }}$

et à la condition de $z=0$ lorsque $\mathrm {Z} =0$. Si l’on change dans ces valeurs $\mathrm {Z}$ en $l$ et qu’en suite on les substitue dans l’équation (T’), on aura

$0=-{\frac {ga}{c}}+{\frac {g\mathrm {A} }{c}}\left(e^{\frac {l}{c}}-e^{\frac {-l}{c}}\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dt^{2}}}\left(e^{\frac {l}{c}}+e^{\frac {-l}{c}}\right).$

Si l’on intègre cette équation, en ayant soin de déterminer les constantes arbitraires de manière qu’à l’origine du mouvement on ait $\mathrm {A} =0$ et s ${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=0,$ on trouvera facilement

$\mathrm {A} ={\frac {a}{e^{\frac {l}{c}}-e^{\frac {-l}{c}}}}(1-\cos nt),$

$n$ étant égale à ${\sqrt {\frac {{\cfrac {g}{c}}\left(e^{\frac {l}{c}}-e^{\frac {-l}{c}}\right)}{e^{\frac {l}{c}}+e^{\frac {-l}{c}}}}}\,;$ partant, on a généralement

${\begin{aligned}x=&\quad a{\frac {e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}+e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}}{e^{\frac {l}{c}}-e^{\frac {-l}{c}}}}\sin {\frac {\mathrm {X} }{c}}(1-\cos nt),\\z=&-a{\frac {e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}-e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}}{e^{\frac {l}{c}}-e^{\frac {-l}{c}}}}\cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}(1-\cos nt).\end{aligned}}$

Il résulte de ces expressions que les molécules intérieures du fluide oscillent d’une manière semblable à celles de la surface, avec cette seule différence que leur mouvement dans le sens vertical est moindre dans la raison de $e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}-e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}$ à $e^{\frac {l}{c}}-e^{\frac {-l}{c}}$ et que leur mouvement dans le