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on aura, au moyen de ces équations, les valeurs de $x$ et de $z$ relatives tous les points du fluide, lorsqu’on aura déterminé ces valeurs en $\mathrm {X}$ et en $l$ pour tous les points de la surface ; or l’équation (S) devient à la surface

$0=g\delta (\mathrm {Z} +\alpha z)+\alpha d\mathrm {X} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\alpha d\mathrm {Z} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$

d’où il suit que $d\mathrm {Z}$ est de l’ordre $\alpha .$ Soit donc à la surface du fluide

$\mathrm {Z} =l+\alpha u,$

$u$ étant une fonction quelconque de $\mathrm {X} \,;$ on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

(T)

$0=g{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {X} }}+g{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$

Il faut maintenant satisfaire à cette équation et à ces deux-ci

${\begin{aligned}z=&\qquad \qquad \varphi \left(\mathrm {X} +l{\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(\mathrm {X} -l{\sqrt {-1}}\right),\\x=&-{\sqrt {-1}}\left[\varphi \left(\mathrm {X} +l{\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(\mathrm {X} -l{\sqrt {-1}}\right)\right]\,;\end{aligned}}$

or cela paraît très difficile en général, c’est-à-dire en donnant à $u$ une valeur quelconque arbitraire ; il ne nous reste donc qu’à y satisfaire dans des suppositions particulières pour $u.$

Supposons $u=a\left(\cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}-\cos {\frac {h}{c}}\right),$ de manière que l’on ait $u=0,$ tant que $\mathrm {X}$ n’est pas compris entre les limites $+h$ et $-h,$ ce qui revient à faire au delà de ces limites $\cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}$ constamment égal à $\cos {\frac {h}{c}}\,;$ l’équation (T) devient alors

(T’)

$0=-{\frac {ga}{c}}\sin {\frac {\mathrm {X} }{c}}+g{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$

On peut y satisfaire et remplir toutes les conditions du mouvement, en supposant

${\begin{aligned}x=&\quad \mathrm {A} \sin {\frac {\mathrm {X} }{c}}\left(e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}+e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}\right),\\z=&-\mathrm {A} \cos {\frac {\mathrm {X} }{c}}\left(e^{\frac {\mathrm {Z} }{c}}-e^{\frac {-\mathrm {Z} }{c}}\right),\end{aligned}}$