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en intégrant cette équation deux fois de suite par rapport à $t$ et observant que, par la formation précédente des ondes, on a

$x=0,\quad z=0,\quad {\frac {dx}{dt}}=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {dz}{dt}}=0,$

lorsque $t=0,$ on aura

${\frac {\partial x}{\partial \mathrm {Z} }}={\frac {\partial z}{\partial \mathrm {X} }},$

partant

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial \mathrm {X} \partial \mathrm {Z} }}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}\,:$

or l’équation (R) donne

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial \mathrm {X} \partial \mathrm {Z} }}=-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}\,;$

on aura donc

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}.$

Cette équation est aux différences partielles du second ordre, et son intégrale complète est, comme l’on sait,

$z=\varphi \left(\mathrm {X+Z} {\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(\mathrm {X-Z} {\sqrt {-1}}\right),$

$\varphi (\mathrm {X} )$ et $\psi (\mathrm {X} )$ étant des fonctions quelconques arbitraires de $\mathrm {X}$ qui renferment le temps $t\,;$ les deux équations

${\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial x}{\partial \mathrm {Z} }}={\frac {\partial z}{\partial \mathrm {X} }}$

donneront ensuite

$x=-{\sqrt {-1}}\left[\varphi \left(\mathrm {X+Z} {\sqrt {-1}}\right)-\psi \left(\mathrm {X-Z} {\sqrt {-1}}\right)\right].$

On doit donc observer ici que, $\mathrm {Z}$ étant nul, on a

$z=0,$

quels que soient $\mathrm {X}$ et $t\,;$ on a donc

$\varphi (\mathrm {X} )=-\psi (\mathrm {X} ),$

partant

${\begin{aligned}z=&\qquad \qquad \varphi \left(\mathrm {X+Z} {\sqrt {-1}}\right)-\varphi \left(\mathrm {X-Z} {\sqrt {-1}}\right),\\x=&-{\sqrt {-1}}\left[\varphi \left(\mathrm {X+Z} {\sqrt {-1}}\right)+\varphi \left(\mathrm {X-Z} {\sqrt {-1}}\right)\right],\end{aligned}}$