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ne négligera que des quantités infiniment petites du second ardre par rapport à celles que l’on considère ; on peut donc supposer nulle la différentielle de la quantité précédente prise en ne faisant varier que le temps $t,$ ce qui exige que cette quantité soit égale à une fonction indépendante du temps ; on aura donc

$\Delta {\text{ϐ}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} \left(1+\alpha {\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}\right)=\Delta {\text{ϐ}}d\mathrm {X} d\mathrm {Y} \varphi (\mathrm {X,Y} ),$

$\varphi (\mathrm {X,Y} )$ étant une fonction quelconque de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y}$ sans $t\,:$ mais, $x$ et $z$ étant nuls à l’origine du mouvement, cette fonction se trouve déterminée et égale à l’unité ; partant on aura

(R)

$0={\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}.$

Si l’on nomme ensuite $p$ la pression qu’éprouve la molécule fluide et $g$ la pesanteur, l’équation (B) de l’article III donnera, dans le cas présent,

(S)

$0=g\delta (\mathrm {Z} +\alpha z)+\alpha d\mathrm {X} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\alpha d\mathrm {Z} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\delta p}{\Delta }},$

la caractéristique $\delta$ servant, comme dans l’article cité, à désigner les différentielles des quantités prises en regardant le temps $t$ comme constant. Cette équation a encore lieu, par le même article, pour tous les points de la surface extérieure du fluide, pourvu qu’on y suppose $\delta p=0$ et que les différences $d\mathrm {X}$ et $d\mathrm {Z}$ soient celles de la surface même.

Pour que l’équation précédente soit possible, il faut que

$d\mathrm {X} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+d\mathrm {Z} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

soit une différence exacte et qu’ainsi l’on ait

${\frac {\partial {\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}{\partial \mathrm {Z} }}={\frac {\partial {\cfrac {d^{2}z}{dt^{2}}}}{\partial \mathrm {X} }}\,;$