Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/314

je ne considérerai ici que le cas traité par Newton, et dans lequel on suppose l’eau renfermée dans un canal infiniment étroit, d’une longueur indéfinie et dont la profondeur et la largeur sont constantes. Je réserve pour un autre Mémoire la discussion du cas où le canal a une longueur et une largeur indéfinies.

La manière la plus simple de concevoir la formation des ondes est d’imaginer une courbe quelconque, plongée dans le fluide jusqu’à une profondeur très petite et retenue dans cet état jusqu’à ce que tout le fluide soit en équilibre ; en la retirant ensuite hors du canal, il est clair que le fluide tendra à reprendre son état d’équilibre, en formant des ondes successives. La nature et la propagation des ondes ainsi formées seront l’objet des recherches suivantes.

Soient

$l$ la profondeur du canal dans l’état d’équilibre ;

$\mathrm {X}$ et $\mathrm {Z}$ les deux coordonnées horizontales et verticales qui déterminent, à l’origine du mouvement, la position d’un point quelconque du fluide ;

$\mathrm {X} +\alpha x$ et $\mathrm {Z} +\alpha z$ les coordonnées qui déterminent la position de ce même point après le temps $t,\ \alpha$ étant supposé infiniment petit.

Si l’on considère présentement un parallélépipède infiniment petit, dont la largeur soit égale à la largeur infiniment petite du canal, que nous désignerons par ϐ, dont la longueur soit $d\mathrm {X} \left(1+\alpha {\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}\right)$ et dont la hauteur soit $d\mathrm {Z} \left(1+\alpha {\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}\right),$ en nommant $\Delta$ la densité du fluide et négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on aura pour l’expression de la masse de ce parallélépipède

$\Delta {\text{ϐ}}d\mathrm {X} d\mathrm {Z} \left(1+\alpha {\frac {\partial x}{\partial \mathrm {X} }}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial \mathrm {Z} }}\right)\,;$

dans l’instant suivant, ce parallélépipède se changera dans un solide d’une autre figure ; mais il est facile de s’assurer que, si l’on calcule la masse de ce nouveau solide comme s’il était un prisme rectangle, on