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on aura

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T+A} \psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)\\&+\psi \ \,(\theta )\left[{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}\,\ +\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}\ +{\text{ϐ}}\mathrm {A\ +A'\,} \left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)\right]\\&+\psi _{1}(\theta )\left[{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {A'+A''} \left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

La fonction $\psi (\theta )$ étant arbitraire, il est clair qu’il n’existe aucune relation entre $\psi '(\theta ),\psi (\theta ),\psi _{1}(\theta ),\ldots ,$ en sorte que, dans l’équation précédente, les coefficients de ces quantités doivent être séparément égaux à zéro ; on aura donc

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T} ,\\0=&{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\ +\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}\ +\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}\ +{\text{ϐ}}\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {A} ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On peut satisfaire à toutes ces équations, excepté aux trois premières, en faisant $\mathrm {A} '=0,\ \mathrm {A} ''=0,\ldots ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T} ,\\0=&{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\ +\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}\,+\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {A} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Il suffit de trouver pour $\mathrm {N} ,\theta$ et $\mathrm {A}$ des valeurs particulières qui satisfassent à ces trois équations : on aura ainsi, pour l’intégrale complète de l’équation (K),

$z=\mathrm {N+A} \psi (\theta )\,;$