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sa valeur

(r)$\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\alpha x^{2}&\left(1-x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}a''}{\partial x^{2}}}-\alpha x{\frac {\partial a''}{\partial x}}-2\alpha a''\left(4-x^{2}-5x^{4}\right)\\&=7^{\mathrm {p} }{,}629\sin ^{2}\nu x^{8}\left\{{\begin{aligned}0{,}3752&+0{,}0783\ \ x^{2}\\&+0{,}00787x^{4}\\&+0{,}00047x^{6}\\&+0{,}00002x^{8}\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

Pour intégrer cette équation, on supposera, conformément à la méthode de l’article XXVII,

${\begin{aligned}\alpha a''=7^{\mathrm {p} }{,}629\sin ^{2}\nu x^{4}&\left(\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}\right.\\&\qquad \left.+\mathrm {A} ^{(4)}x^{8}+\mathrm {A} ^{(5)}x^{1}0+\mathrm {A} ^{(6)}x^{1}2\right)\\\end{aligned}}$

et l’on aura les huit équations suivantes :

${\begin{aligned}16\mathrm {A} ^{(1)}-\ \ 10\mathrm {A} \qquad \qquad \quad =&0,\\40\mathrm {A} ^{(2)}-\ \ 28\mathrm {A} ^{(1)}+10\mathrm {A} \quad =&0{,}3752,\\72\mathrm {A} ^{(3)}-\ \ 54\mathrm {A} ^{(2)}+10\mathrm {A} ^{(1)}=&0{,}0783,\\112\mathrm {A} ^{(4)}-\ \ 88\mathrm {A} ^{(3)}+10\mathrm {A} ^{(2)}=&0{,}00787,\\160\mathrm {A} ^{(5)}-130\mathrm {A} ^{(4)}+10\mathrm {A} ^{(3)}=&0{,}00047,\\216\mathrm {A} ^{(6)}-180\mathrm {A} ^{(5)}+10\mathrm {A} ^{(4)}=&0{,}00002,\\-238\mathrm {A} +10\mathrm {A} ^{(5)}=&0,\end{aligned}}$

$(s)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 10\mathrm {A} ^{(6)}=0.$

En ne considérant que les sept premières, on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} \quad =&-0{,}2344,&\mathrm {A} ^{(4)}=&-0{,}0003649,\\\mathrm {A} ^{(1)}=&-0{,}1465,&\mathrm {A} ^{(5)}=&-0{,}00002135,\\\mathrm {A} ^{(2)}=&-0{,}03457,&\mathrm {A} ^{(6)}=&-0{,}0000008970.\\\mathrm {A} ^{(3)}=&-0{,}004402,\qquad &\end{alignedat}}$

Maintenant, il est clair que si l’on ajoutait au second membre de l’équation (r) le terme

$-7^{\mathrm {p} }{,}629.0{,}00000897\sin ^{2}\nu x^{20},$