Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/302

on a $y'=l'\rho +r'-y,$ il est clair que-sera pareillement du même ordre ; en négligeant donc cette quantité dans l’équation (1’), elle donnera

$\rho =-{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}-{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}-u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

On aura ensuite aux quantités près de l’ordre ${\frac {n^{2}}{g}}u',\ r'$ constant pour toutes les molécules d’air situées sur le même rayon ; or, à la surface de la mer, $r'=y\,;$ on pourra donc supposer à $r'$ cette valeur pour toutes les hauteurs de l’atmosphère ; la quantité $\alpha \Delta '\left(\rho +{\frac {r'-y}{l'}}\right)$ se réduira ainsi à $\alpha \Delta '\rho ,$ et ce terme exprimera la différence de densité de deux molécules d’air situées sur le même rayon et également élevées au-dessus de la surface de la mer, la première dans l’état de mouvement et la seconde dans l’état d’équilibre ; de plus, on aura $y'=l'\rho \,;$ partant

(5’)

$y'=-l'\left({\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right).$

Si l’on considère le mouvement des molécules d’air contiguës à la surface de la mer ou celui des molécules d’une même couche aérienne parallèle à cette surface, il faudra supposer $\delta s'=0\,;$ l’équation (4’) donnera, par les articles V et VI, les deux suivantes, en y supposant $s+s'=1,$

(6’)

${\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv'}{dt}}\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial y'}{\partial \theta }}-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\Delta {\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }},$

(7’)

${\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta +2n{\frac {du'}{dt}}\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}-g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+\Delta {\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \varpi }},$

$\mathrm {D}$ étant tel que nous l’avons défini dans l’article XXII, et $\mathrm {R}$ étant, comme dans le même article, égal à

$\mathrm {K} \left[\cos \theta \cos \nu +\sin \theta \sin \nu \cos(nt+\varpi -\varphi )\right]^{2}.$

Au moyen des équations (5’), (6’) et (7’), on déterminera les oscillations de l’atmosphère lorsqu’on aura déterminé celle de la mer ; si l’on