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on observera que l’équation

$px=\varphi '(y-lp)$

donne

$y-lp=\Pi (px)\,;$

donc

$y-lp+lpx=lpx+\Pi (px)$

ou

$y+lx=lpx+\Pi (px),$

d’où l’on tire

$px=\Gamma (y+lx)=\varphi '(y-lp),$

à cause de

$px=\varphi '(y-lp)\,;$

partant,

$y-lp=\Gamma (y+lx).$

On voit donc que $y-lp$ et $px$ sont fonctions de $y+lp\,;$ donc $z$ étant égal à $px+\varphi (y-lp)$ est égal à une fonction quelconque de $y+lx.$

Il suit de là que la forme de l’équation (T) est la seule dont l’intégrale de l’équation (K) est susceptible ; si l’on fait présentement ${\frac {\mathrm {V} }{\cfrac {\partial \theta }{\partial x}}}=\mathrm {\sideset {^{1}}{}V} ,$ on aura

$\int \mathrm {V} dx\psi (\theta )=\mathrm {\sideset {^{1}}{}V} \psi _{1}(\theta )-\int {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}V} }{\partial x}}dx\psi _{1}(\theta )\,;$

en faisant pareillement ${\frac {\cfrac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}V} }{\partial x}}{\cfrac {\partial \theta }{\partial x}}}=\mathrm {\sideset {^{2}}{}V} ,$ on aura

$\int {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{1}}{}V} }{\partial x}}dx\psi _{1}(\theta )=\mathrm {\sideset {^{2}}{}V} \psi _{2}(\theta )-\int {\frac {\partial \mathrm {\sideset {^{2}}{}V} }{\partial x}}dx\psi _{2}(\theta ),$

et ainsi de suite ; on pourra réduire ainsi le second membre de l’équation (T) dans une série ordonnée par rapport à $\psi (\theta ),\psi _{1}(\theta ),\psi _{2}(\theta ),\ldots ,$ et l’on aura pour $z$ une suite de cette forme

$z=\mathrm {N+A\psi (\theta )+A'\psi _{1}(\theta )+A''} \psi _{2}(\theta )+\ldots \,;$

si l’on substitue cette valeur de $z$ dans l’équation

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} ,$