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la solidité de ce prisme sera, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\Delta 'ds'd\theta d\varpi \sin \theta$

$\times \left[(s+s')^{2}\left(1+\alpha {\frac {\partial r'}{\partial s'}}+\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+\alpha {\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+\alpha u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+\alpha \rho \right)\right.$

$\left.+2\alpha (s+s')(r+r'){\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right].$

Dans l’instant suivant, ce prisme se changera dans un solide d’une autre figure ; mais il est aisé de s’assurer que, en calculant la masse de ce nouveau solide comme s’il était un prisme rectangle, on ne négligera que des quantités infiniment petites du second ordre, par rapport à celles que l’on considère ; on peut donc supposer nulle la différentielle de la quantité précédente, prise en ne faisant varier que le temps $t,$ ce qui demande que l’on ait

$(s+s')^{2}\sin \theta \left(1+\alpha {\frac {\partial r'}{\partial s'}}+\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+\alpha {\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+\alpha u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+\alpha \rho \right)$

$+2\alpha (s+s')(r+r')\sin \theta =\varphi (s+s',\theta ,\varpi ),$

$\varphi (s+s',\theta ,\varpi ),$ étant une fonction indépendante du temps $t\,;$ or on a, à l’origine du mouvement,

$r=0,\quad r'=0,\quad u'=0,\quad {\text{et}}\quad v'=0\,;$

donc

$\varphi (s+s',\theta ,\varpi )=(s+s')^{2}\sin \theta \,;$

on aura ainsi

$0={\frac {\partial r'}{\partial s'}}+{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+\rho +2{\frac {r+r'}{s+s'}},$

et, comme $r$ et $r'$ peuvent être négligées relativement à $u',$ par des considérations analogues à celles de l’article IV, on aura

(1')

$0={\frac {\partial r'}{\partial s'}}+{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}+\rho \,;$

équation qui, pour les fluides élastiques, répond à l’équation (1) de l’article II, relative aux fluides incompressibles.

Il est aisé de voir que l’équation (3) de l’article IV aura encore lieu pour le cas que nous discutons ici, pourvu que l’on y change $s$ en