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Pour que cette équation, et, par conséquent, pour que l’équilibre soit possible, $\mathrm {M} d\theta +\mathrm {N} d\varpi \sin \theta$ doit être une différence exacte, et c’est ce qui a toujours lieu lorsque les forces $\alpha \mathrm {M}$ et $\alpha \mathrm {N}$ sont le résultat des attractions ; soit donc $d\mathrm {Z}$ cette différence, et l’on aura, en intégrant l’équation précédente,

$\mathrm {P=P'} +{\frac {n+1}{2}}\alpha \mathrm {Z} +\alpha \mathrm {R} +{\frac {n-3}{4}}\alpha f\sin ^{2}\theta ,$

$\mathrm {P} '$ étant une constante arbitraire.

Si le sphéroïde n’est animé d’aucune force étrangère, on a

$\mathrm {Z} =0\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {R} =0,$

partant

$\mathrm {P=P'} +{\frac {n-3}{4}}\alpha f\sin ^{2}\theta ,$

$\mathrm {P} '$ exprimant alors la pesanteur au pôle ; dans le cas de la Nature, où $n=-2,$ on a

$\mathrm {P=P'} -{\frac {5}{4}}\alpha f\sin ^{2}\theta ,$

ce qui est conforme à ce que l’on sait d’ailleurs ; mais il est très remarquable que, dans le cas où $n=3,$ on ait $\mathrm {P=P'} \,;$ d’où il suit que, si l’attraction était en raison composée de la masse et du cube de la distance, la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes en équilibre serait constante aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$ quel que fût le mouvement de rotation des sphéroïdes.

Je réserve pour un autre Mémoire les recherches sur les oscillations de l’atmosphère.