Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/290

méridien $\mathrm {AMB} ,$ nous aurons, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$

$\mathrm {M} m=d\theta \,;$

partant, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ nous aurons

$\mathrm {A'-A} =-{\frac {n+1}{2}}\alpha \mathrm {B} d\theta$

ou

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}=-{\frac {n+1}{2}}\alpha \mathrm {B} .$

Nommons ensuite $\varpi$ l’angle que forme le méridien $\mathrm {AMB}$ avec un premier méridien ; si l’on prend sur la surface du sphéroïde un point $m'$ infiniment voisin de $\mathrm {M} ,$ et tel que l’angle $m'\mathrm {CA=MCA} ,$ nous aurons, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$

$Mm'=d\varpi \sin \theta .$

Soit, de plus, $\alpha \mathrm {C}$ l’attraction du sphéroïde sur le point $\mathrm {M} ,$ décomposée suivant la tangente $\mathrm {M} m',$ nous aurons

$d\mathrm {A} =-{\frac {n+1}{2}}\alpha \mathrm {C} d\varpi \sin \theta ,$

$\theta$ étant regardé comme constant dans la différentielle $d\mathrm {A} \,;$ partant

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \varpi }}=-{\frac {n+1}{2}}\alpha \mathrm {C} \sin \theta .$

Si l’on suppose $n=-2,$ ce qui est le cas de la Nature, on aura les deux équations

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}={\frac {1}{2}}\alpha \mathrm {B} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \varpi }}={\frac {1}{2}}\alpha \mathrm {C} \sin \theta \,;$

or on s’assurera facilement que ces équations répondent aux équations (a) et (a’) de l’article I.

Si l’on suppose que le sphéroïde tourne autour de l’axe $\mathrm {AB} ,$ de manière qu’à l’équateur la force centrifuge soit $\alpha f,$ il est aisé de voir que cette force au point $\mathrm {M}$ sera $\alpha f\sin \theta ,$ que, décomposée suivant $\mathrm {M} m,$ elle sera $\alpha f\sin \theta \cos \theta ,$ et que, décomposée suivant $\mathrm {MC} ,$ elle sera $-\alpha f\sin ^{2}\theta \,;$ si l’on suppose, de plus, que le point $\mathrm {M}$ du sphéroïde soit animé, sui-