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donc

$v'-v={\frac {\mathrm {R} }{2}}\left(f'^{n+1}-f^{n+1}\right)=-{\frac {n+1}{2}}\mathrm {R} f^{n}\mathrm {M} h,$

ce qui donne

$v'-v=-{\frac {n+1}{2}}b.\mathrm {M} m.$

Il suit de là que, si l’on suppose une infinité de points distribués d’une manière quelconque sur la surface de la sphère, et que l’on nomme $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ la somme de leurs attractions sur les points $\mathrm {M}$ et $m,$ dirigées vers le centre $\mathrm {C} ,$ et $\mathrm {B}$ la somme de leurs attractions sur le point $\mathrm {M}$ parallèlement à $\mathrm {M} m,$ on aura

$\mathrm {V'-V} =-{\frac {n+1}{2}}\mathrm {B.M} m.$

Considérons maintenant un sphéroïde quelconque $\mathrm {AMB}$ (fig. 5), dont le rayon mené du centre $\mathrm {C}$ d’inertie à sa surface soit $1+\alpha y,$

Fig. 5.

$\alpha$ étant infiniment petit et $y$ étant une fonction quelconque continue ou discontinue de $\theta$ et de $\varpi \,;$ si l’on imagine une sphère dont le rayon soit $i$ et qui soit tangente intérieurement à la surface du sphéroïde au point $\mathrm {M} ,$ il est clair que le centre de cette sphère sera infiniment peu distant du point $\mathrm {C} ,$ et que le rayon mené de son centre à la surface du sphéroïde ne différera de l’unité que d’une quantité de l’ordre $\alpha .$ Cela posé, l’attraction du sphéroïde est égale à l’attraction de la sphère, plus à l’attraction de l’excès du sphéroïde sur la sphère ; or on peut concevoir cet excès comme composé d’une infinité de petites masses