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libre. Si l’on en connaissait une seule, on pourrait en conclure une infinité qui ne seraient pas même de révolution, et cela par la considération suivante qui, plus approfondie, pourra servir peut-être à déterminer ces figures. Que l’on prenne à volonté sur le sphéroïde un point que l’on regarde comme pôle, et auquel on fixera l’origine de l’angle $\theta ,\ \theta$ étant ainsi le complément de la latitude des différents points du sphéroïde dont nous désignerons par $\varpi$ la longitude ; supposons ensuite que $1+\alpha y$ soit le rayon d’un sphéroïde homogène en équilibre, $\alpha$ étant infiniment petit et $y$ étant fonction de $\theta$ et de $\varpi \,;$ en nommant $\alpha \mathrm {B}$ l’attraction tangentielle des sphéroïdes homogènes infiniment peu différents de la sphère, $\mathrm {B}$ étant fonction quelconque de $\theta$ de $\varpi ,$ on aura, dans le cas de l’équilibre, $\alpha \mathrm {B} =0.$ Cette équation ayant lieu quels que soient $\theta$ et $\varpi ,$ il est clair qu’elle subsisterait encore en changeant $\theta$ en $\theta +a$ et $\varpi$ en $\varpi +b,\ a,b$ étant des constantes quelconques ; soit $y'$ ce que devient $y$ en vertu de ces changements, le rayon $1+\alpha y'$ satisfera donc à l’équilibre et, par conséquent, aussi le rayon $1+\alpha y+\alpha ny',\ n$ étant une constante quelconque ; or, $a$ et $b$ étant arbitraires, il est clair que l’on aura ainsi une infinité de figures qui satisferont à l’équilibre. Mais un rapport singulier qui existe entre l’attraction des sphéroïdes homogènes, suivant la tangente, et leur attraction verticale ou perpendiculaire à la tangente, détermine la loi de la pesanteur à la surface de ceux qui sont en équilibre et la rend unique, malgré la multiplicité infinie de figures dont ils paraissent susceptibles. Ce rapport consiste en ce que l’attraction d’un sphéroïde homogène quelconque, infiniment peu différent d’une sphère, parallèlement à la tangente et multipliée par le petit côté du sphéroïde, est le double de la différence des attractions verticales du sphéroïcte aux deux extrémités de ce côté. J’ai démontré ce théorème dans l’article I, mais il peut l’être plus simplement par la méthode suivante, qui, de plus, a l’avantage de s’étendre au cas où l’attraction est comme une puissance quelconque $n$ de la distance.

Imaginons un point $\mathrm {R}$ placé sur une sphère $\mathrm {MRB}$ (fig. 4) dont le rayon est $1$ et $\mathrm {C}$ le centre ; nommons $\mathrm {R}$ la masse de ce point, $f$ sa di-