Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/282

Lorsque

$\int \mathrm {R} dr^{5}=\int \mathrm {R} dr^{3},$

l’équation (37) donne

$q''={\frac {1}{265}}\,;$

partant, on a

$q''<{\frac {1}{265}},$

lorsque les densités vont en diminuant du centre à la surface ; si elles vont en augmentant, on a

$\int \mathrm {R} dr^{5}>\int \mathrm {R} dr^{3},$

parce que, dans ce cas, $d\mathrm {R}$ étant une quantité positive, $\int \left(1-r^{2}\right)d\mathrm {R}$ est positif ; mais ${\frac {\int \mathrm {R} dr^{5}}{\int \mathrm {R} dr^{3}}}$ est moindre que ${\frac {5}{3}}$ car on a

${\frac {\int \mathrm {R} dr^{5}}{\int \mathrm {R} dr^{3}}}={\frac {5}{3}}{\frac {\int \mathrm {R} r^{4}dr}{\int \mathrm {R} r^{2}dr}}.$

Or, $\mathrm {R} r^{4}$ étant moindre que $\mathrm {R} r^{2}$ tant que $r$ est moindre que l’unité, il est clair que ${\frac {\int \mathrm {R} r^{4}dr}{\int \mathrm {R} r^{2}dr}}$ est moindre que $1\,;$ il est facile de s’assurer, par un raisonnement analogue, que, si l’on suppose les densités alternativement croissantes et décroissantes du centre à la surface, on aura toujours

${\frac {\int \mathrm {R} dr^{5}}{\int \mathrm {R} dr^{3}}}<{\frac {5}{3}}.$

Dans le cas où cette quantité est égale à ${\frac {5}{3}},$ on trouve

$q''={\frac {1}{195}}\,;$

cette fraction doit donc être regardée comme la plus grande valeur dont $q''$ soit susceptible, et il est à remarquer que cette valeur serait encore moindre si l’on supposait le rapport de l’effet de la Lune à celui