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donne M. Clairaut dans sa Théorie de la figure de la Terre (voir l’article XXIX de la seconde Partie de cet excellent Ouvrage) :

(36)

$(q+q')\left(10\int \mathrm {R} dr^{3}-6\Delta \right)=6\int \mathrm {R} d.{\text{ϐ}}r^{5}-6\Delta q'+{\frac {5n^{2}}{g}}\int \mathrm {R} dr^{3}.$

Nous observerons ici que \int\mathrm Rdr^3 est égal à $\Delta ^{(1)}\,;$ soit donc

$q+q'=q'',$

$q''$ représentant l’ellipticité de la Terre qui résulte de la mesure des degrés du méridien ; les équations (35) et (36) donneront, en éliminant $\int \mathrm {R} d.{\text{ϐ}}r^{5},$

$q''={\frac {n^{2}}{2g}}+0{,}002043{\frac {\int \mathrm {R} dr^{5}}{\int \mathrm {R} dr^{3}}}\,;$

or

${\frac {n^{2}}{2g}}={\frac {1}{578}}=0{,}001730,$

partant

(37)

$q''=0{,}001730+0{,}002043{\frac {\int \mathrm {R} dr^{5}}{\int \mathrm {R} dr^{3}}}.$

Il est très remarquable que rien de ce qui a rapport au fluide n’entre dans cette équation, en sorte que les conséquences auxquelles elle va donner lieu sont les mêmes dans l’hypothèse où la Terre est entièrement solide et dans celle où elle est recouverte d’un fluide d’une profondeur variable et d’une densité quelconque.

Supposons que la densité des couches du sphéroïde terrestre aille en diminuant du centre à la surface, $\int \mathrm {R} dr^{5}$ sera moindre que $\int \mathrm {R} dr^{3},$ car on a

$\int \mathrm {R} dr^{5}-\int \mathrm {R} dr^{3}=\int \left(1-r^{2}\right)r^{3}d\mathrm {R} \,;$

or, $r$ étant moindre que $1,$ et $d\mathrm {R}$ étant par hypothèse une quantité négative, $\int \left(1-r^{2}\right)d\mathrm {R}$ est négatif ; d’où il suit que l’on a

$\int \mathrm {R} dr^{5}<\int \mathrm {R} dr^{3}.$