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dant de l’orbite lunaire à l’équinoxe du printemps ; et, comme le moyen mouvement du nœud est très lent relativement à celui de la Lune, $m-m'$ est très peu considérable par rapport à $m\,;$ on a ensuite, à très peu près,

$\sin q'=\operatorname {tang} q'\qquad {\text{et}}\qquad \cos q'=1.$

Cela posé, si l’on néglige les quantités de l’ordre $c^{2}$ et que, parmi les termes de l’ordre $c,$ on ne conserve que les sinus et les cosinus de l’angle $(m-m')t+\mathrm {A-A'} ,$ parce qu’ils deviennent très considérables par les intégrations, on aura

${\begin{aligned}\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \cos \mathrm {U} =&{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2}}\left\{c\sin \varepsilon \sin \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\cos \varepsilon \sin(2mt+2\mathrm {A} )\right\},\\\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} =&{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2}}\left\{\sin \varepsilon \cos \left[\cos(2mt+2\mathrm {A} \right]\right.\\&\quad \left.+c\left(1-2\sin ^{2}\varepsilon \right)\cos \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\right\}\,;\end{aligned}}$

on aura ainsi

$0={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+n^{2}\varphi '+{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {n}{2m}}\sin \varepsilon +1\right)\sin(2mt+2\mathrm {A} )+\mathrm {H} '-nt\sin \varepsilon \\&+{\frac {{\cfrac {nc}{m-m'}}\left(1-2\sin ^{2}\varepsilon \right)-c\sin \varepsilon }{\cos \varepsilon }}\sin \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\end{aligned}}\right\},$

$\mathrm {H} '$ étant une constante arbitraire qui résulte de l’intégrale

$\int \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} dt\,;$

on aura donc, en intégrant et observant que, $m$ étant très petit par rapport à $n,$ on peut négliger $m^{2}$ vis-à-vis de $n^{2},$

$\varphi '=\mathrm {N} \sin nt+\mathrm {N} '\cos nt-{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{2n^{2}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}\mathrm {H} '&-nt\sin \varepsilon +\left({\frac {n}{2m}}\sin \varepsilon +1\right)\sin(2mt+2\mathrm {A} )\\&+{\frac {{\cfrac {nc}{m-m'}}\left(1-2\sin ^{2}\varepsilon \right)-c\sin \varepsilon }{\cos \varepsilon }}\sin \left[(m-m')t+\mathrm {A-A'} \right]\end{aligned}}\right\}$