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donnera ensuite celle de $\varepsilon ,$ et l’équation (31) donnera celle de $\rho .$ Il est aisé de voir que les intégrales de ces équations renfermeront en tout six constantes arbitraires, que l’on déterminera par les conditions primitives du mouvement du sphéroïde. Pour intégrer ces équations, il faut connaître $\mathrm {K} ,\ \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U}$ et $\sin \nu \cos \nu \cos \mathrm {U} ,$ en fonctions du temps $t\,;$ or on a

$\alpha \mathrm {K} ={\frac {3\mathrm {S} }{2h^{3}}},$

et $h$ est connu en fonction de $t$ par la loi du mouvement de l’astre ; de plus, il est visible que $180^{\circ }+\mathrm {U}$ exprime son ascension droite et $90^{\circ }-\nu$ sa déclinaison. Soient donc $z$ sa longitude et $q'$ sa latitude rapportées à l’écliptique ; on tirera facilement des formules connues de la Trigonométrie, pour réduire l’ascension droite et la déclinaison d’un astre en longitude et latitude rapportées à l’écliptique,

${\begin{aligned}\cos \nu =&\sin \varepsilon \sin q'+\cos \varepsilon \cos q'\sin z,\\\sin \nu \cos \mathrm {U} =&-\cos q'\cos z,\\\sin \nu \sin \mathrm {U} =&\cos \varepsilon \sin q'-\sin \varepsilon \cos q'\sin z,\end{aligned}}$

partant

${\begin{aligned}\sin \nu \cos \nu \cos \mathrm {U} =&-\cos q'\cos z(\sin \varepsilon \sin q'+\cos \varepsilon \cos q'\sin z),\\\sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} =&(\cos \varepsilon \sin q'-\sin \varepsilon \cos q'\sin z)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times (\sin \varepsilon \sin q'+\cos \varepsilon \cos q'\sin z).\end{aligned}}$

Nous supposerons ici, pour plus de simplicité, que l’orbite de [’astre projetée sur le plan de l’écliptique est circulaire, et que son inclinaison est très petite, en sorte que, parmi les termes multipliés par la tangente de cette inclinaison, nous ne conserverons que ceux qui peuvent devenir fort grands par les intégrations ; il sera facile d’avoir égard si l’on veut aux différentes inégalités du mouvement de l’astre. Supposons conséquemment

$z=mt+\mathrm {A} \qquad {\text{et}}\qquad \operatorname {tang} q'=c\sin(m't+\mathrm {A} '),$

$c$ représentant la tangente de l’inclinaison moyenne de l’orbite ; $(m-m')t+\mathrm {A-A'}$ exprimera la distance moyenne du nœud ascen-