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XXXI.

La première des équations (V’) donne, en l’intégrant,

(31)

$d\rho =adt-\varphi '\sin \varepsilon ,$

$a$ étant une constante arbitraire ; cette équation servira à déterminer $\rho ,$ lorsqu’on connaîtra $\varphi '$ et $\varepsilon$ en fonctions du temps $t\,;$ pour cela nous observerons que ${\frac {d\rho }{dt}}$ ne diffère de $n$ que de quantités de l’ordre $\alpha ,$ puisque nous supposons ici que la Terre tourne à très peu près uniformément autour de l’axe $\mathrm {AC} \,;$ de plus ${\frac {d\varphi '}{dt}}$ et ${\frac {d\varepsilon }{dt}}$ sont de l’ordre $\alpha \,;$ la troisième des équations (V) devient donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$0=\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} dt^{2}+n\cos \varepsilon dtd\varphi '-d^{2}\varepsilon \,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

(32)

${\frac {d\varepsilon }{dt}}=n\varphi '\cos \varepsilon +\int \alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} dt,$

équation au moyen de laquelle on aura $\varepsilon ,$ lorsqu’on aura déterminé $\varphi '.$

La seconde des équations (V’) donne

$0=-\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \cos \varepsilon \cos \mathrm {U} dt^{2}+d^{2}\varphi '+n\cos \varepsilon dtd\varepsilon +\sin \varepsilon d^{2}\rho ,$

et la première donne

$-d^{2}\varphi '\sin ^{2}\varepsilon =d^{2}\rho \sin \varepsilon ,$

partant

$0=-\alpha \mathrm {KE} \sin \nu \cos \nu \cos \varepsilon \cos \mathrm {U} dt^{2}+\cos ^{2}\varepsilon d^{2}\varphi '+n\cos \varepsilon d\varepsilon dt\,;$

en substituant dans cette équation, au lieu de $d\varepsilon ,$ sa valeur que donne l’équation (32), on aura

$0={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+n^{2}\varphi '+\alpha n\mathrm {E} \int {\frac {\mathrm {K} }{\cos \varepsilon }}\sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} dt-{\frac {\alpha \mathrm {KE} }{\cos \varepsilon }}\sin \nu \cos \nu \cos \mathrm {U} \,;$

cette équation donnera en l’intégrant la valeur de $\varphi '\,;$ l’équation (32)