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partant

${\begin{aligned}\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \rho }}\ =&0,\\\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varphi '}}=&\alpha \mathrm {K} s\sin \nu \cos \nu \cos \mathrm {U} \cos \varepsilon \left(\mathrm {P} \Delta +4s\cos ^{2}\theta -4s\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varpi \right),\\\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varepsilon }}\ =&\alpha \mathrm {K} s\sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} \left(\mathrm {P} \Delta +4s\cos ^{2}\theta -4s\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varpi \right).\end{aligned}}$

Supposons maintenant que le rayon $s$ de la couche du sphéroïde terrestre qui passe par le point $\mathrm {N}$ soit $r+\gamma ',\ r$ étant le demi-axe de cette couche perpendiculaire au plan de l’équateur et $\gamma '$ étant une très petite fonction de $r$ et de $\cos \theta \,;$ soit encore, comme dans l’article XXIX, $\mathrm {R}$ la densité de cette couche, $\mathrm {R}$ étant fonction de $r\,;$ on multipliera les valeurs précédentes de $\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varphi '}}$ et de $\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varepsilon }}$ par la quantité

$\mathrm {R} \left(r+\gamma '\right)^{2}d\theta d\varpi \sin \theta dr\left(1+{\frac {\partial \gamma '}{\partial r}}\right)$

qui représente la masse de la particule du sphéroïde située au point $\mathrm {N} ,$ et, après avoir substitué dans ces valeurs $r+\gamma '$ au lieu de $s,$ on intégrera successivement ces produits par rapport à $\theta ,u$ et $r\,;$ soit donc

$\mathrm {F} =f\int _{0}^{1}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\mathrm {R} \left(r+\gamma '\right)^{3}\sin \theta \left(1+{\frac {\partial \gamma '}{\partial r}}\right)drd\theta d\varpi$

$\times \left(\mathrm {P} \Delta +4s\cos ^{2}\theta -4s\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varpi \right)\,;$

on aura, pour la somme des terme $\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varphi '}},\psi '{\frac {\partial \lambda '}{\partial \varphi '}},\ldots$ qui résultent des attractions de l’astre et du fluide,

$\alpha \mathrm {KF} \sin \nu \cos \nu \cos \varepsilon \cos \mathrm {U} ,$

et pour la somme des termes $\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varepsilon }},\psi '{\frac {\partial \lambda '}{\partial \varepsilon }},\ldots$ qui résultent de ces mêmes attractions, on aura

$\alpha \mathrm {KF} \sin \nu \cos \nu \sin \mathrm {U} .$

On peut simplifier le calcul de $\mathrm {F}$ en observant que, si le sphéroïde était une sphère, ou, ce qui revient au même, si l’on avait $\gamma '=0,$ on