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Pour exécuter cette double intégration, il faut connaître $r$ et $r'$ en fonctions de $p$ et de $q\,;$ nous observerons pour cela que la distance $\mathrm {RZ}$ du point $\mathrm {R}$ au plan $a\mathrm {N} b$ est $r\cos p,$ et que la distance du plan $a\mathrm {N} b$ ou, ce qui revient au même, du point $\mathrm {N}$ au plan $\mathrm {ALB}$ est $s\sin \theta \sin \varpi \,;$ partant, la distance $\mathrm {RZ'}$ du point $\mathrm {R}$ au plan $\mathrm {ALB}$ est $s\sin \theta \sin \varpi +r\cos p\,;$ la distance du point $\mathrm {Z}$ à la droite $ca$ est $r\sin p\cos q+s\sin \theta \cos \varpi ,$ et sa distance à la droite $cl$ est $s\cos \theta +r\sin p\sin q\,;$ ce sont aussi les distances du point $\mathrm {Z} '$ aux droites $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CL} .$ On aura ainsi

${\begin{aligned}&\mathrm {CR} ^{2}=\left(s\sin \theta \sin \varpi +r\cos p\right)^{2}+\left(s\sin \theta \cos \varpi +r\sin p\cos q\right)^{2}\\&\qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left(s\cos \theta +r\sin p\sin q\right)^{2}\\&=r^{2}+s^{2}+2sr\left[\sin \theta \sin \varpi \cos p+\sin \theta \cos \varpi \sin p\cos q+\cos \theta \sin p\sin q\right].\end{aligned}}$

Or on a, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\mathrm {CR} ^{2}=1+2\alpha \mathrm {K} \mu '\sin \nu \cos \nu \sin \theta '\cos \theta '\cos \varpi '\,;$

en comparant donc ces deux valeurs de $\mathrm {CR} ^{2}$ et faisant, pour abréger,

$\mathrm {M} =\sin \theta \sin \varpi \cos p+\sin \theta \cos \varpi \sin p\cos q+\cos \theta \sin p\sin q,$

on aura

$r=-s\mathrm {M} \pm {\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}+2\alpha \mathrm {K} \mu '\sin \nu \cos \nu \sin \theta '\cos \theta '\cos \varpi '}},$

partant

$r=-s\mathrm {M} \pm {\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}\pm {\frac {\alpha \mathrm {K} \mu '\sin \nu \cos \nu \sin \theta '\cos \theta '\cos \varpi '}{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}}\,;$

$\cos \theta '$ est, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$ égal à la distance du point $\mathrm {Z} '$ à la droite $\mathrm {CL} ,$ et $\sin \theta '\cos \varpi '$ est égal à la distance de ce même point à l’axe $\mathrm {CA} ,$ ce qui donne

${\begin{aligned}\cos \theta '=&s\cos \theta +r\sin p\sin q\\=&s\cos \theta -s\mathrm {M} \sin p\sin q\pm \sin p\sin q{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}},\\\sin \theta '\cos \varpi '=&s\sin \theta \cos \varpi +r\sin p\cos q\\=&s\sin \theta \cos \varpi -s\mathrm {M} \sin p\cos q\pm \sin p\cos q{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}},\\\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans les quantités multipliées par $\alpha$ de l’ex-