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ensuite $\psi ,\psi ',\psi '',\ldots$ les différentes forces dont le sphéroïde terrestre est animé, et $d\lambda ,d\lambda ',d\lambda '',\ldots$ les petits espaces que les différents points auxquels elles sont appliquées parcourent dans les directions de ces forces, en vertu des variations de $\varepsilon ,\varphi '$ et $\rho \,;$ que l’on désigne enfin par $\mathrm {R}$ la densité de la couche du sphéroïde terrestre dont le demi petit axe ou, ce qui revient au même, le demi-axe perpendiculaire au plan de l’équateur est $r,\ \mathrm {R}$ étant une fonction quelconque de $r\,;$ et par $\mathrm {H}$ l’intégrale

${\frac {8}{3}}\pi \int _{0}^{1}\mathrm {R} r^{4}dr,$

$\pi$ exprimant toujours le rapport de la demi-circonférence au rayon, le demi petit axe du sphéroïde terrestre étant supposé égal à l’unité. Cela posé, si, dans les équations générales du mouvement d’un corps de figure quelconque, auxquelles M. de la Grange est parvenu dans son excellente pièce sur la libration de la Lune, on suppose, comme cela a lieu pour la Terre, que ce corps est très peu différent d’une sphère, on en tirera facilement les trois suivantes

(V)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \rho }}\ \,+\psi '{\frac {\partial \lambda '}{\partial \rho }}+\psi ''{\frac {\partial \lambda ''}{\partial \rho }}+\ldots -\mathrm {H} {\frac {d(d\rho +\sin \varepsilon d\varphi ')}{dt^{2}}},\\0=&\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varphi '}}+\psi '{\frac {\partial \lambda '}{\partial \varphi '}}+\psi ''{\frac {\partial \lambda ''}{\partial \varphi '}}+\ldots -\mathrm {H} {\frac {d(d\varphi '+\sin \varepsilon d\rho )}{dt^{2}}},\\0=&\psi {\frac {\partial \lambda }{\partial \varepsilon }}\ \,+\psi '{\frac {\partial \lambda '}{\partial \varepsilon }}+\psi ''{\frac {\partial \lambda ''}{\partial \varepsilon }}+\ldots +\mathrm {H} \left(\cos \varepsilon {\frac {d\varphi 'd\rho }{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\varepsilon }{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}\right.$

l’élément $dt$ du temps étant supposé constant. La recherche des mouvements du sphéroïde terrestre autour de son centre d’inertie se réduit donc à déterminer exactement, et sans rien omettre, les forces $\psi ,\psi ',\psi '',\ldots$ et à intégrer ensuite les trois équations précédentes.

XXX.

Toutes les forces dont la partie solide de la Terre est animée peuvent se réduire aux attractions du Soleil et de la Lune et à la réaction du fluide qui la recouvre ; or le fluide qui recouvre un sphéroïde ne peut