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soit

${\frac {d^{n}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n}}}=\Gamma ^{n}(\theta ),$

et supposons d’abord que le terme précédent ne renferme qu’un seul signe $\int ,$ de manière qu’il soit $\mathrm {H} \int \mathrm {L} d\mu \Gamma ^{n}(\theta )\,;$ il est clair que, pour que l’intégration soit possible, $\mathrm {L} \Gamma ^{n}(\theta )$ doit être fonction de $\mu \,;$ or on a

$d\mu ={\frac {\partial \mu }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mu }{\partial y}}dy\,;$

on aura donc

$\mathrm {H} \int \mathrm {L} d\mu \Gamma ^{n}(\theta )=\mathrm {H} \int \mathrm {L} {\frac {\partial \mu }{\partial x}}dx\Gamma ^{n}(\theta ),$

l’intégrale $\int \mathrm {L} {\frac {\partial \mu }{\partial x}}dx\Gamma ^{n}(\theta )$ étant prise en ne faisant varier que $x,$ et en y ajoutant une constante qui sera fonction de $y$ seul ; on peut donc toujours réduire l’intégrale $\int \mathrm {L} d\mu \Gamma ^{n}(\theta )$ à une intégrale de l’une ou l’autre de ces deux formes $\int \mathrm {V} dx\Gamma ^{n}(\theta )$ ou $\int \mathrm {V} dy\Gamma ^{n}(\theta ),$ ces intégrales étant prises en ne faisant varier que $x$ ou $y.$ On réduira pareillement la double intégrale $\int \mathrm {L} d\mu \int \mathrm {L} 'd\mu \Gamma ^{n}(\theta )$ à l’une de ces quatre formes

${\begin{aligned}\int \mathrm {V} dx\int \mathrm {V} 'dx\Gamma ^{n}(\theta ),\qquad &\int \mathrm {V} dy\int \mathrm {V} 'dy\Gamma ^{n}(\theta ),\\\int \mathrm {V} dx\int \mathrm {V} 'dy\Gamma ^{n}(\theta ),&\int \mathrm {V} dy\int \mathrm {V} 'dx\Gamma ^{n}(\theta )\,;\end{aligned}}$

or on peut réduire à de simples intégrales les doubles intégrales

$\int \mathrm {V} dx\int \mathrm {V} 'dx\Gamma ^{n}(\theta )\quad$et$\quad \int \mathrm {V} dy\int \mathrm {V} 'dy\Gamma ^{n}(\theta )\,;$

car, si l’on fait $\int \mathrm {V} dx=\mathrm {R} ,$ on aura

$\int \mathrm {V} dx\int \mathrm {V} 'dx\Gamma ^{n}(\theta )=\mathrm {R} \int \mathrm {V} 'dx\Gamma ^{n}(\theta )-\int \mathrm {V'R} dx\Gamma ^{n}(\theta )\,;$

on voit ainsi que, toutes les fois que, dans un terme, deux signes $\int$ consécutifs se rapportent à la même variable, ce terme peut se réduire ; il résulte de là que le terme

$\mathrm {H} \int \mathrm {L} d\mu \int \mathrm {L} 'd\mu '\int \mathrm {L} ''d\mu ''\ldots {\frac {d^{n}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n}}}$