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Supposons, comme précédemment, ${\frac {q}{l}}=-{\frac {4n^{2}}{i^{2}+4n^{2}}}$ l’équation

$a\sin \theta =-l{\frac {\partial .b\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }}$

donnera

${\begin{aligned}h\sin \theta \cos ^{r}\theta +h^{(1)}&\sin \theta \cos ^{r-1}\theta +\ldots \\=-{\frac {l\sin \theta }{i^{2}+4n^{2}}}&\left[r(r+1)(gh-\sigma )\sin ^{r}\theta \right.\\&\left.+r(r-1)\left(gh^{(1)}-gh-\sigma ^{(1)}+\sigma \right)\cos ^{r-1}\theta +\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

en comparant les différentes puissances de $\cos \theta ,$ on aura d’abord

$h=-{\frac {lr(r+1)(gh-\sigma )}{i^{2}+4n^{2}}}=-{\frac {lgr(r+1)}{i^{2}+4n^{2}}}\left[1-{\frac {3\Delta }{(2r+1)\Delta ^{(1)}}}\right]h,$

ce qui donne

$q={\frac {4n^{2}}{r(r+1)g\left[1-{\cfrac {3\Delta }{(2r+1)\Delta ^{(1)}}}\right]}}\,;$

on déterminera ensuite le rapport des coefficients $h^{(1)},h^{(2)},\ldots$ au coefficient $h$ au moyen des autres équations que donne la comparaison des puissances de $\cos \theta ,$ et $h$ restera arbitraire.

On prouvera facilement, comme ci-dessus, que la supposition de $i^{2}$ négatif entraîne celle de $3\Delta$ moindre que $(2r+1)\Delta ^{(1)}$ et, dans ce cas, l’équilibre sera ferme ; mais, si l’on a $3\Delta >(2r+1)\Delta ^{(1)},\ i^{2}$ sera positif et l’équilibre ne sera ferme qu’en faisant $i$ négatif et ${\text{ϐ}}=0.$

Si l’on suppose $r=1,$ on aura le cas que nous avons discuté précédemment ; en supposant $r=2,$ on aura celui dans lequel la figure du sphéroïde reste elliptique durant l’oscillation et s’aplatit plus ou moins que dans l’état d’équilibre, qui ne sera ferme alors que dans la supposition de $3\Delta$ moindre que $5\Delta ^{(1)},$ à moins que, dans la supposition contraire, on ne fasse $i$ négatif et ${\text{ϐ}}=0.$

Examinons, d’après ces calculs, les conditions que quelques géomètres ont exigées dans la recherche de la figure des planètes et les raisons sur lesquelles ils se sont fondés.