Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/248

donnera

$1={\frac {2lg\left(1-{\cfrac {\Delta }{\Delta ^{(1)}}}\right)}{i'^{2}}}\,;$

or cette équation ne peut subsister que lorsque l’on a $\Delta <\Delta ^{(1)}\,;$ dans ce cas, $i^{2}$ est négatif et l’équilibre du fluide est ferme ; mais, si $\Delta$ est plus grand que $\Delta ^{(1)},\ i^{2}$ sera positif et l’équilibre ne sera ferme qu’en supposant $i$ négatif et ${\text{ϐ}}=0$ dans les formules précédentes.

Dans le cas que nous venons de discuter, le fluide conserve toujours la même figure elliptique et le même axe de révolution que lorsqu’il est en équilibre, avec cette seule différence que le centre du sphéroïde fluide, au lieu de coïncider, comme dans l’état d’équilibre, avec celui du sphéroïde qu’il recouvre, en est éloigné de la quantité

$\alpha h\left(e^{it}+{\text{ϐ}}e^{-it}\right)\,;$

d’où il suit que, dans la supposition de $i^{2}$ négatif ou, ce qui revient au même, de $\Delta$ moindre que $\Delta ^{(1)},$ le centre du sphéroïde fluide fait des oscillations continuelles autour du centre du sphéroïde recouvert par le fluide et qu’il s’en approche sans cesse lorsque l’on a $\Delta >\Delta ^{(1)},$ pourvu que l’on suppose alors $i$ négatif et ${\text{ϐ}}=0.$

Considérons présentement le cas général où l’on a

$a=h\cos ^{r}\theta +h^{(1)}\cos ^{r-1}\theta +h^{(2)}\cos ^{r-2}\theta +\ldots ,$

et, pour avoir un équilibre ferme par rapport à $v,$ supposons $a'=0,\ b'=0$ et $c'=0\,;$ nous aurons, par l’article XXIII, pour $f\Delta ,$ une expression de cette forme

$f\Delta =\sigma \cos ^{r}\theta +\sigma ^{(1)}\cos ^{r-1}\theta +\ldots ,$

$\sigma$ étant égal à ${\frac {4\pi \Delta .h}{2r+1}}\,;$ l’équation

$(i^{2}+4n^{2}\cos ^{2}\theta )b=-g{\frac {\partial a}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\Delta$

donnera donc

$b=\sin \theta {\frac {\begin{aligned}(gh-\sigma )r\cos ^{r-1}\theta +&\left(gh^{(1)}-\sigma ^{(1)}\right)(r-1)\cos ^{r-2}\theta \\+&\left(gh^{(2)}-\sigma ^{(2)}\right)(r-2)\cos ^{r-3}\theta +\ldots \end{aligned}}{i^{2}+4n^{2}-4n^{2}\sin ^{2}\theta }}.$