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et ${\frac {dv}{dt}},$ dans le cas où l’ébranlement primitif a été tel qu’à l’origine du mouvement on ait eu

${\begin{alignedat}{2}y=&a+a',\qquad &{\frac {dy}{dt}}=&ia,\\u=&b+b',\qquad &{\frac {du}{dt}}=&ib,\\{\frac {dv}{dt}}=&c+c'.\end{alignedat}}$

Les équations précédentes ne renfermant que le carré de $i,$ il est clair que l’on peut prendre $i$ en $+$ ou en $-,$ en sorte que l’on peut supposer

${\begin{aligned}y=&a\left(e^{it}+{\text{ϐ}}e^{-it}\right)+a',\\u=&b\left(e^{it}+{\text{ϐ}}e^{-it}\right)+b',\\{\frac {dv}{dt}}=&c\left(e^{it}+{\text{ϐ}}e^{-it}\right)+c',\end{aligned}}$

ϐ étant un coefficient quelconque indépendant de $\theta$ de $t\,;$ ce sont les valeurs de $y,u,{\frac {dv}{dt}},$ qui conviennent au fluide dans le cas où l’on a à l’origine du mouvement

${\begin{alignedat}{2}y=&a(1+{\text{ϐ}})+a',\qquad &{\frac {dy}{dt}}=&ia(1-{\text{ϐ}}),\\u=&b(1+{\text{ϐ}})+b',\qquad &{\frac {du}{dt}}=&ib(1-{\text{ϐ}}),\\{\frac {dv}{dt}}=&c(1+{\text{ϐ}})+c'.\end{alignedat}}$

Si l’on voulait qu’à cette origine ${\frac {dy}{dt}},{\frac {du}{dt}}$ et ${\frac {dv}{dt}}$ fussent zéro, il faudrait supposer ϐ$=1$ et $c'=-2c.$

La stabilité de l’équilibre exige en général que $i^{2}$ soit une quantité négative ; car il est aisé de s’assurer, par la théorie connue des exponentielles, que les valeurs précédentes de $y,u$ et ${\frac {dv}{dt}}$ ne renfermeront alors que des sinus et des cosinus du temps $t,$ et seront par conséquent des fonctions périodiques de ce temps, au lieu que, $i^{2}$ étant positif, ces valeurs renfermeront des quantités exponentielles qui peuvent croitre à l’infini, et les oscillations du fluide cesseront d’être infiniment pe-