Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/244

de $t,$ mais que, pour leur exactitude, il est nécessaire que ${\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {du}{dt}}$ ne renferment aucun terme semblable. Pour satisfaire présentement à ces équations, supposons

${\begin{alignedat}{2}y=&ae^{it}+a',\qquad &\mathrm {D} =&fe^{it}+f',\\u=&be^{it}+b',\\{\frac {dv}{dt}}=&ce^{it}+c',\\\end{alignedat}}$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $a,a',f,f',$$b,b',c,c'$ étant des fonctions de $\theta$ seul ; on formera les cinq équations

$a'\sin \theta =-l{\frac {\partial .b'\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},$

$-2nc'\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial a'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f'}{\partial \theta }}\Delta ,$

$a\sin \theta =-l{\frac {\partial .b\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},$

$i^{2}b-2nc\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial a}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\Delta ,$

$c\sin ^{2}\theta +2nb\sin \theta \cos \theta =0.$

Au moyen des deux premières équations, on déterminera deux des trois quantités $a',b'$ et $c',$ lorsqu’on connaîtra la troisième ; la cinquième équation donne $c=-2nb{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\,;$ la troisième et la quatrième deviendront ainsi

$a\sin \theta =-l{\frac {\partial .b\sin \theta \left(1+{\cfrac {q}{l}}\sin ^{2}\theta \right)}{\partial \theta }},$

$\left(i^{2}+4n^{2}\cos ^{2}\theta \right)b=-g{\frac {\partial a}{\partial \theta }}+{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\Delta .$

Supposons que l’on ait déterminé $a$ et $b$ de manière à satisfaire à ces équations, on aura, pour un temps quelconque $t,$ les valeurs de $y,u$ et