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L’instant de la haute mer est ici, comme dans le cas précédent, celui du passage des astres par le méridien, et l’on trouve, dans les mêmes suppositions que ci-dessus, $5^{\mathrm {P} }{,}137$ pour la différence de la haute à la basse mer à l’équateur. Ces résultats étant assez conforma à ce que l’on observe, nous n’avons aucune raison de rejeter une profondeur moyenne de quatre lieues ; mais, si la différence $5^{\mathrm {P} }{,}137$ paraissait trop considérable, il faudrait admettre alors une profondeur plus grande que quatre lieues ; car, en augmentant la profondeur de la mer ou, ce qui revient au même, en diminuant la valeur de $\mu ,$ on a de plus petites marées. Pour le faire voir, considérons la loi des valeurs de $\mu ^{(r)},\mu ^{(r-1)},\mu ^{(r-2)},\ldots \,;$ il est facile d’en conclure que, si, dans le cas de $\mu =i,$ toutes ces valeurs sont positives jusqu’à $\mu ^{(r-s)}$ inclusivement, dans le cas de $\mu =i-f,$ elles seront encore positives et plus grandes que dans le premier cas, si l’on excepte cependant la valeur de $\mu ^{(r)}$ qui, dans ces deux cas, est égale à $2r^{2}+3r\,;$ car $\mu ^{(r-1)}$ par exemple, étant égal à $2(r-1)^{2}+3(r-1)-2\mu {\frac {(r-1)^{2}+3(r-1)}{\mu ^{(r)}}},$ augmente lorsque $\mu$ diminue, puisque la partie négative $-2\mu {\frac {(r-1)^{2}+3(r-1)}{\mu ^{(r)}}}$ est d’autant moindre que $\mu$ est plus petit. Il suit de là que, les valeurs de $\mu ^{(r)},\mu ^{(r-1)},\mu ^{(r-2)},\ldots$ ayant été trouvées positives dans le cas de $\mu =5,$ lorsque $\mu$ sera moindre que $5,$ ces valeurs seront encore positives et deviendront d’autant plus considérables que $\mu$ sera plus petit, et comme on a

$\mathrm {A} ^{(1)}={\frac {1}{2}}{\text{ϐ}},\qquad \mathrm {A} ^{(2)}={\frac {\mu }{2\mu ^{(1)}}}{\text{ϐ}},\qquad \mathrm {A} ^{(3)}={\frac {\mu ^{2}}{2\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}}}{\text{ϐ}},\qquad \ldots$

et

$a=\mathrm {A} ^{(1)}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}+\ldots ,$

il est clair que, tant que $\mu$ sera égal ou au-dessous de $5$ ou, ce qui est la même chose, tant que la profondeur moyenne de la mer sera égale ou au-dessus de deux lieues, la valeur de $a,$ dont dépend la différence de la hauteur des marées, sera positive et deviendra plus petite lorsque cette profondeur sera plus grande ; mais cette diminution de la valeur de $a$ a des limites ; car, dans le cas de $\mu$ infiniment petit, on