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nées, nous choisirons celles qui répondent à $\mu =20,\ \mu =10,\ \mu =5$ et $\mu ={\frac {5}{2}}\,;\ \mu$ étant égal à ${\frac {2n^{2}}{lg}},$ la profondeur $l$ de la mer sera, dans ces quatre hypothèses, ${\frac {n^{2}}{10g}},\ {\frac {n^{2}}{5g}},\ {\frac {2n^{2}}{5g}},\ {\frac {4n^{2}}{5g}}\,;$ or on a, comme on sait,

${\frac {n^{2}}{g}}={\frac {1}{289}},$

et le rayon de la Terre que nous avons pris jusqu’ici pour unité est de $1445$ lieues, à raison de $13573$ pieds, ou d’environ $2262$ toises par lieue ; d’où il suit que la profondeur de la mer relative aux quatre valeurs précédentes de $\mu$ est de ${\frac {1}{2}}$ lieue, de $1$ lieue, de $2$ lieues et de $4$ lieues. Considérons d’abord le cas de $m=20,$ ou d’une demi-lieue de profondeur.

Si l’on suppose $r=12,$ ou, ce qui revient au même, si l’on considère treize termes de la suite

$\mathrm {A} ^{(1)}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}+\ldots ,$

on trouvera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} ^{(1)}=&\quad 0{,}5{\text{ϐ}},&\qquad \mathrm {A} ^{(8)}\ \ =&-0{,}2251{\text{ϐ}},\\\mathrm {A} ^{(2)}=&\ \ 10{,}0931{\text{ϐ}},&\qquad \mathrm {A} ^{(9)}\ \ =&-0{,}03434{\text{ϐ}},\\\mathrm {A} ^{(3)}=&\quad 5{,}0582{\text{ϐ}},&\qquad \mathrm {A} ^{(10)}=&-0{,}004078{\text{ϐ}},\\\mathrm {A} ^{(4)}=&-6{,}5523{\text{ϐ}},&\qquad \mathrm {A} ^{(11)}=&-0{,}0003889{\text{ϐ}},\\\mathrm {A} ^{(5)}=&-7{,}7244{\text{ϐ}},&\qquad \mathrm {A} ^{(12)}=&-0{,}00003039{\text{ϐ}},\\\mathrm {A} ^{(6)}=&-3{,}7290{\text{ϐ}},&\qquad \mathrm {A} ^{(13)}=&-0{,}000001876{\text{ϐ}},\\\mathrm {A} ^{(7)}=&-1{,}0987{\text{ϐ}},&\qquad \end{alignedat}}$

Le terme ${\frac {-\mu ^{r+1}{\text{ϐ}}x^{2r+{\text{ϐ}}}}{\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\ldots \mu ^{(r)}}},$ qu’il faudrait ajouter à l’équation différentielle (R), pour que l’équation

$a=\mathrm {A} ^{(1)}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}+\ldots +\mathrm {A} ^{(13)}x^{26}$

y satisfît exactement, étant égal à $-2\mu \mathrm {A} ^{(r+1)}x^{2r+{\text{ϐ}}},$ est conséquemment égal à $-0{,}00007504{\text{ϐ}}x^{30}\,;$ or ce terme, étant excessivement petit par rapport à $4{\text{ϐ}}x^{2},$ peut, sans erreur sensible, être ajouté à