Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/231

on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(3)}\quad =&{\frac {\mu ^{2}{\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}}},\\\mathrm {A} ^{(4)}\quad =&{\frac {\mu ^{3}{\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\mu ^{(3)}}},\\\mathrm {A} ^{(5)}\quad =&{\frac {\mu ^{4}{\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\mu ^{(3)}\mu ^{(4)}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {A} ^{(r+1)}=&{\frac {\mu ^{r}{\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\mu ^{(3)}\ldots \mu ^{(r)}}}.\end{aligned}}$

Ces valeurs de $\mathrm {A^{(2)},A^{(3)},A^{(4)}} ,\ldots$ satisfont aux équations $(f),$ si l’on excepte la dernière de ces équations ; mais, si l’on ajoutait au second membre de l’équation (R) le terme ${\frac {-\mu ^{r+1}{\text{ϐ}}x^{2r+{\text{ϐ}}}}{\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\ldots \mu ^{(r)}}},$ il est visible que cette dernière équation se changerait dans la suivante

$0={\frac {-\mu ^{r+1}{\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\ldots \mu ^{(r)}}}+\mu \mathrm {A} ^{(r+1)},$

ce qui donnerait pour $\mathrm {A} ^{(r+1)}$ la même valeur que précédemment ; d’où il suit que l’équation finie

$a={\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}+\ldots +\mathrm {A} ^{(r+1)}x^{2r+2}$

satisfait exactement à l’équation différentielle

$0=x^{2}\left(1-x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}-x{\frac {\partial a}{\partial x}}-2a\left(4-x^{2}-\mu x^{4}\right)+4{\text{ϐ}}x^{2}-{\frac {\mu ^{r+1}{\text{ϐ}}x^{2r+{\text{ϐ}}}}{\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\ldots \mu ^{(r)}}}.$

Si le terme ${\frac {\mu ^{r+1}{\text{ϐ}}x^{2r+{\text{ϐ}}}}{\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\ldots \mu ^{(r)}}}$ était extrêmement petit, on pourrait, sans erreur sensible, employer l’équation précédente au lieu de l’équation (R), et l’erreur serait d’autant moindre que ce terme serait plus petit ; or, quel que soit $\mu ,$ il est facile de s’assurer que l’on peut toujours supposer à $r$ une telle valeur que ce terme soit moindre qu’aucune grandeur donnée, en sorte que ${\frac {\mu ^{r+1}}{\mu ^{(1)}\mu ^{(2)}\ldots \mu ^{(r)}}}$ devient infiniment petit lorsque $r$ est infini.

Pour appliquer la théorie précédente à des profondeurs détermi-