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pend de celle de $\mathrm {A} ^{(4)},$ et ainsi de suite à l’infini, d’où il semble impossible d’avoir la valeur de $\mathrm {A} \,;$ voici comment on peut résoudre ce cas singulier qui peut se présenter dans d’autres circonstances.

Supposons que la suite $\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}x^{2}+\mathrm {A} ^{(2)}x^{4}+\mathrm {A} ^{(3)}x^{6}+\ldots$ se termine après le terme $\mathrm {A} ^{(r+1)}x^{2r+2},$ ou, ce qui revient au même, supposons $\mathrm {A} ^{(r+2)}=0,\ \mathrm {A} ^{(r+3)}=0,\ \mathrm {A} ^{(r+4)}=0,$ nous aurons les équations

$(f)\left\{{\begin{aligned}0=&\ \ 8\mathrm {A} ^{(3)}-\ \ 5\mathrm {A} ^{(2)}+\mu \mathrm {A} ^{(1)},\\0=&20\mathrm {A} ^{(4)}-14\mathrm {A} ^{(3)}+\mu \mathrm {A} ^{(2)},\\0=&36\mathrm {A} ^{(5)}-27\mathrm {A} ^{(4)}+\mu \mathrm {A} ^{(3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\0=&\mathrm {A} ^{(r+1)}\left[2(r-1)^{2}+6(r-1)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -\mathrm {A} ^{(r)}\left[2(r-1)^{2}+3(r-1)\right]+\mu \mathrm {A} ^{(r-1)},\\0=&-\mathrm {A} ^{(r+1)}\left(2r^{2}+3r\right)+\mu \mathrm {A} ^{(r)},\\0=&\mu \mathrm {A} ^{(r+1)}\,;\end{aligned}}\right.$

en faisant abstraction de la dernière de ces équations, on aura un nombre $r$ d’équations au moyen desquelles on pourra déterminer les $r$ quantités $\mathrm {A} ^{(2)},\mathrm {A} ^{(3)},\mathrm {A} ^{(4)},\ldots ,A^{(r+1)},$ et si l’on suppose

${\begin{aligned}\mu ^{(r)}\quad =&2r^{2}+3r,\\\mu ^{(r-1)}=&2(r-1)^{2}+3(r-1)-2\mu {\frac {(r-1)^{2}+3(r-1)}{\mu ^{(r)}}},\\\mu ^{(r-2)}=&2(r-2)^{2}+3(r-2)-2\mu {\frac {(r-2)^{2}+3(r-2)}{\mu ^{(r-1)}}},\\\mu ^{(r-3)}=&2(r-3)^{2}+3(r-3)-2\mu {\frac {(r-3)^{2}+3(r-3)}{\mu ^{(r-2)}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(r+1)}=&{\frac {\mu }{\mu ^{(r)}}}\mathrm {A} ^{(r)},\\\mathrm {A} ^{(r)}\quad =&{\frac {\mu }{\mu ^{(r-1)}}}\mathrm {A} ^{(r-1)},\\\mathrm {A} ^{(r-1)}=&{\frac {\mu }{\mu ^{(r-2)}}}\mathrm {A} ^{(r-2)},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {A} ^{(2)}\quad =&{\frac {\mu }{\mu ^{(1)}}}\mathrm {A} ^{(1)}={\frac {\mu {\text{ϐ}}}{2\mu ^{(1)}}}\,;\end{aligned}}$