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l’on pourra mettre ainsi sous cette forme

${\begin{aligned}ix^{3}&a\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right)^{2}\\=&-lgzi^{3}x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {\partial {\cfrac {\partial a'}{\partial x}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\partial x}}\\&+4n^{2}lgzix^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}a'}{\partial x^{2}}}+4n^{2}lgzix^{3}\left(1-x^{2}\right)^{2}{\frac {\partial a'}{\partial x}}\\&+lgza'\left[(i+2n)\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right)+16n^{3}x^{2}\left(1-x^{2}\right)\right]\\&-lgx{\frac {\partial z}{\partial x}}\left(1-x^{2}\right)\left(i^{2}-4n^{2}+4n^{2}x^{2}\right)\left(ix{\frac {\partial a'}{\partial x}}+2na'\right)\,;\end{aligned}}$

or, si l’on y suppose, comme dans l’article précédent,

$z=x+{\frac {q}{l}}x^{3}$

et que l’on fasse

$a=\sin \theta \cos \theta \left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\,$

il est aisé de s’assurer, par un calcul analogue à celui de l’article précédent et par quelques considérations fort simples sur la formation de l’équation (T), qu’elle sera satisfaite, pourvu que l’on ait

$q={\frac {2n^{2}}{g\left[1-{\cfrac {3\Delta }{(4r+5)\Delta ^{(1)}}}\right]\left(2r^{2}+5r+3+{\cfrac {n}{i}}\right)}},$

ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé par une autre méthode, dans l’article XVI ; quant à la condition d’une quantité de fluide toujours constante, ou, ce qui revient au même, à l’équation

$0=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi ,$

elle est évidemment satisfaite, parce que l’on a

$\int _{0}^{2\pi }\cos(it+\varpi +\mathrm {A} )d\varpi =0\,;$

mais, pour ne pas nous embarrasser ici dans des calculs inutiles, nous