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de plus, l’intégrale $\int _{0}^{\pi }a\sin \theta d\theta$ devant se terminer lorsque $\theta =\pi ,$ on a encore dans ce cas

$-lgz{\frac {\partial a'}{\partial \theta }}=0\,;$

partant, on aura

$\int _{0}^{\pi }a\sin \theta d\theta =0,$

pourvu que la valeur de $a$ soit telle qu’elle satisfasse à l’équation (T’) ; d’où il suit que la condition d’une quantité de fluide toujours constante est remplie par la nature même des équations qui nous servent à déterminer les coefficients $h,h^{(1)},h^{(2)},\ldots .$

L’analyse précédente suppose que, dans $\cos(it+\mathrm {A} ),\ i$ n’est pas exactement nul ; mais il est facile de s’assurer que l’expression de $\mathrm {R}$ renferme des termes de la forme

$\left(\mathrm {K'+K''} x^{2}\right)\cos \mathrm {A} .$

Pour déterminer la partie de l’expression de $y$ qui répond à ces termes, il faut recourir aux équations (Z) de l’article précédent et y supposer $i=0$ et $s=0\,;$ elles se réduisent alors, quel que soit $z,$ aux deux suivantes

$a\sin \theta =-l{\frac {\partial b}{\partial \theta }}\qquad {\text{et}}\qquad 0=g{\frac {\partial a'}{\partial \theta }},$

d’où l’on tirera facilement, comme dans l’article XII,

$a={\frac {-\mathrm {K} ''}{6g\left(1-{\cfrac {3\Delta }{5\Delta ^{(1)}}}\right)}}(1+3\cos 2\theta )\,;$

en sorte que la partie de l’expression de $y$ qui répond aux termes de la forme $\left(\mathrm {K'+K''} x^{2}\right)\cos \mathrm {A}$ dans $\mathrm {R}$ est

$y={\frac {-\mathrm {K} ''\cos \mathrm {A} }{6g\left(1-{\cfrac {3\Delta }{5\Delta ^{(1)}}}\right)}}(1+3\cos 2\theta ).$

On voit par là que les suppositions de $i=0$ et de $i$ très petit donnent