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l’équation précédente donnera ainsi

${\frac {4n^{2}}{lg}}=(2r+2)(2r+3){\frac {q}{l}}\left[1-{\frac {4\pi \Delta }{(4r+5)g}}\right].$

Or, si l’on nomme $\Delta ^{(1)}$ la densité moyenne du sphéroïde terrestre, on a à très peu près $g={\frac {4}{3}}\pi \Delta ^{(1)}\,;$ on aura donc

$q={\frac {2n^{2}}{g\left[1-{\cfrac {3\Delta }{(4r+5)\Delta ^{(1)}}}\right]\left(2r^{2}+5r+3\right)}}.$

On déterminera ensuite $h,h^{(1)},h^{(2)},\ldots ,h^{(r+1)}$ au moyen des $r+2$ équations que donne la comparaison des coefficients des puissances de $x.$

Si l’on prend un grand nombre de termes dans la suite

$h+h^{(1)}x^{2}+h^{(2)}x^{4}+\ldots$

ou, ce qui revient au même, si l’on suppose $r$ considérable, on aura à très peu près $q=0,$ en sorte que la valeur de $a,$ que l’on déterminera par la méthode précédente, sera la même à très peu près que si la profondeur de la mer était constante ; cette méthode peut donc servir à trouver des valeurs approchées de $a,$ dans cette hypothèse de profondeur qui, comme nous le verrons dans l’article suivant, est à peu près celle de la nature : il n’est pas même nécessaire de prendre pour $r$ un très grand nombre, car, en faisant par exemple $r=10,$ on a

$q={\frac {2n^{2}}{253g\left(1-{\cfrac {\Delta }{15\Delta ^{(1)}}}\right)}}\,;$

or cette valeur de $q,$ étant du même ordre que $\left({\frac {n^{2}}{g}}\right)^{2},$ peut sans erreur sensible être supposée égale à zéro.

Il est essentiel de prévenir ici une difficulté fondée sur ce que la masse entière du fluide doit rester constamment la même, ce qui exige, ainsi que nous l’avons remarqué dans l’article XII, que la double intégrale

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi$