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l’équation (1) deviendra ainsi

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+\mathrm {V} .$

La variable $u$ étant indéterminée, je puis la supposer telle que l’on ait

$0={\frac {\partial u}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial y}}\,;$

on aura ainsi

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'+\mathrm {V} ,$

équation qui sera réduite aux différences ordinaires, lorsque, après avoir déterminé $u$ au moyen de celle-ci

$0={\frac {\partial u}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial y}},$

on en aura tiré la valeur de $y$ en $x$ et en $u,$ et on l’aura substituée dans $\mathrm {V} .$

Il ne s’agit donc plus que de trouver une valeur qui satisfasse pour $u$ à l’équation

$0={\frac {\partial u}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial y}}\,;$

or, puisque l’on a

$du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy,$

on aura

$du={\frac {\partial u}{\partial y}}(dy-\alpha dx)\,;$

soit $\mathrm {N}$ le facteur par lequel, multipliant $dy-\alpha dx,$ on rend cette quantité une différentielle exacte, et que l’on fasse

$\mathrm {N} dy-\alpha \mathrm {N} dx=d\theta ,$

on aura

$du={\frac {\cfrac {\partial u}{\partial y}}{\mathrm {N} }}d\theta \,;$

partant, $u$ est fonction de $\theta \,;$ prenons $\theta$ pour cette fonction même, en