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qui ne diffère de l’équation (S’) qu’en ce que $g$ se change en $g-{\frac {4}{5}}\pi \Delta \,;$ d’où l’on voit que, à ce changement près, le cas de $\Delta$ quelconque rentre dans celui de $\Delta =0,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans l’article IX.

XXIV.

Considérons maintenant le cas de la Nature, dans lequel $n$ n’est pas nul. Au lieu de chercher à ramener, comme dans le cas précédent, la détermination des oscillations du fluide à une seule équation différentielle, il est plus simple de considérer les équations (6), (7) et (9) de l’article XXII, dont elles dépendent, sous cette forme

$y\sin \theta =-l{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}-lz{\frac {\partial v}{\partial \varpi }},$

${\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}z\sin \theta \cos \theta =-gz{\frac {\partial y'}{\partial \theta }},$

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta +2n{\frac {du'}{dt}}{\frac {\sin \theta \cos \theta }{z}}=-g{\frac {\partial y'}{\partial \varpi }},$

$y'$ étant égal à $y-{\frac {\Delta }{g}}\mathrm {D} -{\frac {1}{g}}\mathrm {R} ,\ z$ étant égal à $\gamma \sin \theta ,$ et $u'$ étant égal a $uz.$

Pour satisfaire à ces équations, supposons

${\begin{aligned}y\ =&a\ \cos(it+s\varpi +\mathrm {A} ),\\y'=&a'\cos(it+s\varpi +\mathrm {A} ),\\u'=&b\ \cos(it+s\varpi +\mathrm {A} ),\\v\ =&c\ \sin(it+s\varpi +\mathrm {A} ),\end{aligned}}$

$i$ et $s$ étant des coefficients constants quelconques, et $a,a',b,c$ étant des fonctions de $\theta$ seul. Les trois équations précédentes donneront, cela posé, les suivantes :

(Z)

$\left\{{\begin{aligned}&a\sin \theta =-l{\frac {\partial b}{\partial \theta }}-lscz,\\&i^{2}b+2nicz\sin \theta \cos \theta =gz{\frac {\partial a'}{\partial \theta }},\\&i^{2}c\sin ^{2}\theta +{\frac {2nib\sin \theta \cos \theta }{z}}=-gsa'.\end{aligned}}\right.$