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à l’origine du mouvement,

$u=0,\qquad {\frac {du}{dt}}=0,\qquad v=0,\qquad {\frac {dv}{dt}}=0.$

Supposons maintenant $\Delta$ quelconque, et voyons si la forme précédente de $y$ peut subsister et si l’on peut toujours faire

$y=x(1+3\cos 2\theta )+x'\sin 2\theta +x''\sin ^{2}\theta$

ou

$y=2x(3\cos ^{2}\theta -1)+2x'\sin \theta \cos \theta +x''\sin ^{2}\theta ,$

$x'$ et $x''$ étant des fonctions de $\varpi$ et de $t,$ telles que

${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=-x'\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{2}x''}{\partial \varpi ^{2}}}=-4x''.$

En intégrant ces deux équations, on aura

${\begin{aligned}x'\ =&a\ \sin \ \ (\varphi -\varpi )+b\ \cos \ \ (\varphi -\varpi ),\\x''=&a'\sin 2(\varphi -\varpi )+b'\cos 2(\varphi -\varpi )\,;\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}y=2x(3\cos ^{2}\theta -1)+2\sin \theta &\cos \,\ \theta \left[a\ \sin(\ \ \varphi -\ \ \varpi )+b\ \cos(\ \ \varphi -\ \ \varpi )\right]\\+&\sin ^{2}\theta \left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right].\end{aligned}}$

Supposons, pour plus de généralité,

${\begin{aligned}y=h&+h^{(1)}\cos \theta +h^{(2)}\cos ^{2}\theta +\ldots +h^{(s)}\cos ^{s}\theta \\&+\left[a\ \sin(\ \ \varphi -\ \ \varpi )+b\ \cos(\ \ \varphi -\ \ \varpi )\right]\sin \theta \cos \theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right]\sin ^{2}\theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right),\end{aligned}}$

l’équation

${\frac {\partial \mathrm {D} }{\partial \varpi }}\Delta =\mathrm {C} \Delta \sin \theta$

donnera

$\mathrm {D} \Delta =\Delta \int \mathrm {C} \sin \theta d\varpi \,;$

on aura donc, par l’article IX,

${\begin{aligned}\mathrm {D} \Delta =\mathrm {G} &+\quad \left[a\sin(\ \ \varphi -\ \ \varpi )+b\ \cos(\ \ \varphi -\ \ \varpi )\right]\sin \theta \cos \theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+{\frac {1}{2}}\left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right]\sin ^{2}\theta \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left({\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right),\end{aligned}}$