Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/205

constantes arbitraires de son intégrale sont les mènes, car, puisque, à l’origine du mouvement, on a

$x'=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dx'}{dt}}=0,$

il est clair que l’on a, à cette origine,

${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dd}{dt}}{\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=0\,;$

partant,

$s'=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial x'}{\partial t}}=0\,;$

donc

$s'=x'\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=-x'.$

Si l’on différence pareillement l’équation en $x''$ deux fois de suite par rapport à $\varpi ,$ et que l’on fasse

${\frac {\partial ^{2}x''}{\partial \varpi ^{2}}}=-4s'',$

on aura

${\frac {d^{2}s''}{dt^{2}}}+6lgs''=3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi ),$

équation qui est la même que celle en $x''\,;$ et, comme on a, à l’origine du mouvement,

$s''=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {ds''}{dt}}=0,$

on aura

$x''=s''\,;$

partant,

${\frac {\partial ^{2}x''}{\partial \varpi ^{2}}}=-4x''.$

Lorsqu’on aura déterminé, par ce qui précède, la valeur de $y,$ on aura celles de $u$ et de $v,$ en intégrant les équations

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }},\qquad {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-g{\frac {\partial y}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial \mathrm {\mathrm {R} } }{\partial \varpi }}$

et en déterminant les constantes arbitraires, de manière que l’on ait,