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mement petit ; soit $\alpha y$ l’élévation de la molécule au-dessus de la surface de la mer considérée dans l’état d’équilibre auquel elle serait parvenue depuis longtemps, sans l’action du Soleil et de la Lune. Représentons par $\alpha \mathrm {B} \Delta$ et $\alpha \mathrm {C} \Delta$ les composantes de l’attraction d’un sphéroïde aqueux dont le rayon est $1+\alpha y$ sur la molécule $\mathrm {M} ,$ décomposée perpendiculairement au rayon du sphéroïde, dans le plan du méridien et dans celui du parallèle, $\Delta$ exprimant la densité des eaux de la mer. Soient encore $\mathrm {S}$ la masse de l’astre attirant, $\nu$ le complément de sa déclinaison, $\varphi$ sa longitude comptée sur l’équateur depuis le premier méridien, $h$ sa distance au centre de la Terre, que nous supposons très considérable relativement au rayon du sphéroïde terrestre dont nous prenons le demi petit axe pour unité ; que l’on fasse

${\frac {3\mathrm {S} }{2h^{3}}}=\alpha \mathrm {K} ,$

et que l’on désigne par $g$ la pesanteur, et par $l\gamma$ la profondeur de la mer, $l$ étant très petit, et $\gamma$ étant une fonction quelconque de $\theta \,;$ cela posé, nous sommes parvenu (art. VI) aux trois équations suivantes, dont dépend la détermination des oscillations de la mer,

(6)

$y=-{\frac {l}{\sin \theta }}{\frac {\partial .u\gamma \sin \theta }{\partial \theta }}-l\gamma {\frac {\partial v}{\partial \varpi }},$

(7)

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\mathrm {B} \Delta +{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }},$

(9)

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin ^{2}\theta +2n{\frac {du}{dt}}\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\mathrm {C} \Delta \sin \theta +{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \varpi }},$

$\mathrm {R}$ étant égal à $\mathrm {K} \left[\cos \theta \cos \nu +\sin \theta \sin \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )\right]^{2}.$

Nous observerons d’abord sur ces équations qu’elles supposent immobile le centre de gravité du sphéroïde recouvert par le fluide, et cette supposition est légitime, comme nous l’avons prouvé dans l’article V, toutes les fois que le fluide est dérangé de l’état d’équilibre par l’attraction d’un astre quelconque éloigné ; mais le fluide peut à l’origine du mouvement avoir reçu un ébranlement tel que ce centre